Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar por indução que:
Aqui, é um número inteiro positivo. Vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma forma de provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para .
Substituindo na expressão:
E do outro lado:
Então, é verdade. A base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a desigualdade é verdadeira para algum número , ou seja:
Esta é nossa hipótese, e vamos usá-la para provar que a desigualdade também vale para .

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos provar que:
Sabemos pela hipótese de indução que:
Então, somando em ambos os lados:

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que:
Simplificando ambos os lados, podemos cancelar o 1:
Subtraindo de ambos os lados:
No entanto, vemos que é sempre menor que para , o que indica que houve um erro na nossa abordagem inicial.

Passo 6

Percebi que a desigualdade inicial pode não ser válida para todos os valores de . Vamos reavaliar o enunciado original para garantir que interpretamos corretamente a expressão.
Parece que houve um mal-entendido na interpretação da série. Vamos reconsiderar a soma correta e ajustar a prova conforme necessário.

Resposta

Após uma análise cuidadosa, verificamos que a desigualdade proposta não se sustenta para todos os valores de usando a indução matemática da forma apresentada. É possível que haja uma restrição adicional ou que a desigualdade precise ser ajustada para ser válida.

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Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
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Prove que todo inteiro positivo pode ser expresso como a soma de números de Fibonacci distintos.
Por exemplo, , onde 2, 5,13 são, obviamente, números de Fibonacci. Embora possamos escrever , isso não ilustra o resultado, porque utilizamos 5 duas vezes.
Suponha que e sejam funções diferenciáveis no número 2 e seja . Use as regras de diferenciação para calcular:
(b)
Um mastro tem pés de altura. Nesse mastro, exibimos bandeiras dos seguintes tipos: bandeiras vermelhas com 1 pé de altura, bandeiras azuis com 2 pés de altura e bandeiras verdes com 2 pés de altura. A soma das alturas das bandeiras é exatamente pés.
Prove que há maneiras de dispor as bandeiras.