Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma função que tem no denominador junto com o logaritmo de . Para resolver essa integral, vamos usar o conteúdo de substituição de variável, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão no denominador, uma boa escolha é definir:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral, já que a derivada de é , que aparece no denominador.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso significa que:
Dessa forma, conseguimos expressar em termos de , o que será útil para substituir na integral original.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Sabemos que e , então:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral básica que podemos resolver usando a regra da integral de :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por último, vamos voltar à variável original substituindo por :
Como o logaritmo natural está definido para , podemos simplificar para:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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(b)
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.
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