Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com uma função que tem
no denominador junto com o logaritmo de
. Para resolver essa integral, vamos usar o conteúdo de substituição de variável, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão
no denominador, uma boa escolha é definir:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral, já que a derivada de
é
, que aparece no denominador.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Dessa forma, conseguimos expressar
em termos de
, o que será útil para substituir na integral original.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Sabemos que
e
, então:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral básica que podemos resolver usando a regra da integral de
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por último, vamos voltar à variável original
substituindo
por
:
Como o logaritmo natural
está definido para
, podemos simplificar para:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.