Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com uma função que tem
no denominador junto com o logaritmo de
. Para resolver essa integral, vamos usar o conteúdo de substituição de variável, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão
no denominador, uma boa escolha é definir:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral, já que a derivada de
é
, que aparece no denominador.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Dessa forma, conseguimos expressar
em termos de
, o que será útil para substituir na integral original.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Sabemos que
e
, então:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral básica que podemos resolver usando a regra da integral de
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por último, vamos voltar à variável original
substituindo
por
:
Como o logaritmo natural
está definido para
, podemos simplificar para:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Um mastro tem
pés de altura. Nesse mastro, exibimos bandeiras dos seguintes tipos: bandeiras vermelhas com 1 pé de altura, bandeiras azuis com 2 pés de altura e bandeiras verdes com 2 pés de altura. A soma das alturas das bandeiras é exatamente
pés.
Prove que há maneiras de dispor as bandeiras.
Prove que há
Suponha que
e
sejam funções diferenciáveis no número 2 e seja
. Use as regras de diferenciação para calcular:
(b)
(b)
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
As seguintes sequências de números são definidas por recorrência. Responda às questões formuladas.
Seja e, para
, seja
.
Por que damos duas definições-base?
Quais são os cinco primeiros termos da sequência ?
Prove que .
Seja
Por que damos duas definições-base?
Quais são os cinco primeiros termos da sequência
Prove que