Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo: integral 2x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 2x ln (x) , dx. Aqui, estamos lidando com uma função que tem x no denominador junto com o logaritmo de x. Para resolver essa integral, vamos usar o conteúdo de substituição de variável, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão ln(x) no denominador, uma boa escolha é definir:
u = ln(x)
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a integral, já que a derivada de ln(x) é 1x, que aparece no denominador.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = 1x
Isso significa que:
du = 1x , dx
Dessa forma, conseguimos expressar 1x , dx em termos de du, o que será útil para substituir na integral original.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Sabemos que u = ln(x) e du = 1x , dx, então:
integral 2x ln(x) , dx = integral 2u cdot du
Aqui, substituímos ln(x) por u e 1x , dx por du.

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 2u , du
Essa é uma integral básica que podemos resolver usando a regra da integral de 1u:
integral 2u , du = 2 ln|u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por último, vamos voltar à variável original x substituindo u por ln(x):
2 ln|u| + C = 2 ln|ln(x)| + C
Como o logaritmo natural ln(x) está definido para x > 0, podemos simplificar para:
2 ln(ln(x)) + C

Resposta

A integral é igual a 2 ln(ln(x)) + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados