Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso,
é um inteiro positivo.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Precisamos provar que a soma da sequência
é igual a
para todo número inteiro positivo
. Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a igualdade é verdadeira para
.
A soma dos termos até
é apenas o primeiro termo da sequência:
Agora, substituindo
na expressão do lado direito:
Como os dois lados são iguais (
), a base da indução é válida.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a igualdade é verdadeira para algum inteiro positivo
. Ou seja, assumimos que:
Esta suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a igualdade é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
.
Vamos considerar a soma até
:
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Para somar essas parcelas, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Agora, fatoramos o numerador:
Observamos que:
Portanto:
O que mostra que a igualdade é verdadeira para
.
Resposta
Por indução matemática, provamos que
é verdadeira para todo número inteiro positivo
.