Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Precisamos provar que a soma da sequência é igual a para todo número inteiro positivo . Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a igualdade é verdadeira para .
A soma dos termos até é apenas o primeiro termo da sequência:
Agora, substituindo na expressão do lado direito:
Como os dois lados são iguais ( ), a base da indução é válida.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a igualdade é verdadeira para algum inteiro positivo . Ou seja, assumimos que:
Esta suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a igualdade é verdadeira para , então ela também é verdadeira para .
Vamos considerar a soma até :
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Para somar essas parcelas, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
Agora, fatoramos o numerador:
Observamos que:
Portanto:
O que mostra que a igualdade é verdadeira para .

Resposta

Por indução matemática, provamos que é verdadeira para todo número inteiro positivo .

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