Uma matemática aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km da margem retilínea de um rio. A professora deseja construir uma casa que esteja a uma distância à Universidade igual à metade da distância até a margem do rio. Os possíveis locais satisfazendo esta condição pertencem a uma curva. Determine esta curva e sua equação em relação a algum sistema (cartesiano) à sua escolha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma professora que quer construir uma casa a uma distância da Universidade igual à metade da distância até a margem de um rio que fica a 6 km dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a definição de curvas de loci no plano cartesiano.

Passo 2

Vamos começar escolhendo um sistema de coordenadas para facilitar. Vamos posicionar a margem do rio na linha do eixo (ou seja, ) e colocar a Universidade a 6 km dessa margem, no ponto .

Passo 3

Agora, consideremos um ponto qualquer d(U, P) = raiz(x - 0)^2 + (y - 6)^2 = raizx^2 + (y - 6)^2 onde a professora pode construir a casa. A distância desse ponto até a Universidade é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

A distância de d(Mar>=m, P) = y até a margem do rio (a linha ) é simplesmente o valor de , pois é a distância vertical:

Passo 5

Segundo a condição do problema, a distância até a Universidade deve ser metade da distância até a margem. Então, temos a equação:
raizx^2 + (y - 6)^2 = 12y

Passo 6

Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
x^2 + (y - 6)^2 = (12y)^2
x^2 + y^2 - 12y + 36 = 14y^2

Passo 7

Vamos reorganizar os termos para facilitar:
4x^2 + 4y^2 - 48y + 144 = y^2
4x^2 + 3y^2 - 48y + 144 = 0

Passo 8

Agora, vamos completar o quadrado para a variável 4x^2 + 3(y^2 - 16y) + 144 = 0 :
4x^2 + 3[(y - 8)^2 - 64] + 144 = 0
Para completar o quadrado em 4x^2 + 3(y - 8)^2 - 192 + 144 = 0 , adicionamos e subtraímos 4x^2 + 3(y - 8)^2 - 48 = 0 dentro dos parênteses:
4x^2 + 3(y - 8)^2 = 48
Distribuindo:

Passo 9

Dividindo toda a equação por 48 para chegar à forma padrão da elipse:
x^212 + (y - 8)^216 = 1

Resposta

A curva é uma elipse com a equação:
x^212 + (y - 8)^216 = 1

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