Uma matemática aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km da margem retilínea de um rio. A professora deseja construir uma casa que esteja a uma distância à Universidade igual à metade da distância até a margem do rio. Os possíveis locais satisfazendo esta condição pertencem a uma curva. Determine esta curva e sua equação em relação a algum sistema (cartesiano) à sua escolha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma professora que quer construir uma casa a uma distância da Universidade igual à metade da distância até a margem de um rio que fica a 6 km dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a definição de curvas de loci no plano cartesiano.

Passo 2

Vamos começar escolhendo um sistema de coordenadas para facilitar. Vamos posicionar a margem do rio na linha do eixo (ou seja, ) e colocar a Universidade a 6 km dessa margem, no ponto .

Passo 3

Agora, consideremos um ponto qualquer onde a professora pode construir a casa. A distância desse ponto até a Universidade é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

A distância de até a margem do rio (a linha ) é simplesmente o valor de , pois é a distância vertical:

Passo 5

Segundo a condição do problema, a distância até a Universidade deve ser metade da distância até a margem. Então, temos a equação:

Passo 6

Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 7

Vamos reorganizar os termos para facilitar:

Passo 8

Agora, vamos completar o quadrado para a variável :
Para completar o quadrado em , adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
Distribuindo:

Passo 9

Dividindo toda a equação por 48 para chegar à forma padrão da elipse:

Resposta

A curva é uma elipse com a equação:

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