Uma matemática aceitou um cargo numa nova Universidade situada a 6 km da margem retilínea de um rio. A professora deseja construir uma casa que esteja a uma distância à Universidade igual à metade da distância até a margem do rio. Os possíveis locais satisfazendo esta condição pertencem a uma curva. Determine esta curva e sua equação em relação a algum sistema (cartesiano) à sua escolha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma professora que quer construir uma casa a uma distância da Universidade igual à metade da distância até a margem de um rio que fica a 6 km dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a definição de curvas de loci no plano cartesiano.
Passo 2
Vamos começar escolhendo um sistema de coordenadas para facilitar. Vamos posicionar a margem do rio na linha do eixo
(ou seja,
) e colocar a Universidade a 6 km dessa margem, no ponto
.
Passo 3
Agora, consideremos um ponto qualquer
onde a professora pode construir a casa. A distância desse ponto até a Universidade
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
A distância de
até a margem do rio (a linha
) é simplesmente o valor de
, pois é a distância vertical:
Passo 5
Segundo a condição do problema, a distância até a Universidade deve ser metade da distância até a margem. Então, temos a equação:
Passo 6
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 7
Vamos reorganizar os termos para facilitar:
Passo 8
Agora, vamos completar o quadrado para a variável
:
Para completar o quadrado em
, adicionamos e subtraímos
dentro dos parênteses:
Distribuindo:
Passo 9
Dividindo toda a equação por 48 para chegar à forma padrão da elipse:
Resposta
A curva é uma elipse com a equação: