Mostre que toda matriz elementar é inversível e se E é matriz elementar do tipo
, explique que valores você pode encontrar para o
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão pede para mostrar que toda matriz elementar é inversível e, se
for uma matriz elementar de tamanho
, explicar quais valores podemos encontrar para o determinante de
. Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes elementares, como elas funcionam e como calcular determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz elementar. Matrizes elementares são matrizes obtidas a partir da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. Existem três tipos de operações elementares:
- Troca de duas linhas.
- Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
- Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Cada uma dessas operações corresponde a um tipo específico de matriz elementar.
Passo 3
Para mostrar que toda matriz elementar é inversível, vamos verificar se existe uma matriz que, quando multiplicada pela matriz elementar, dá a matriz identidade. Sabemos que as operações elementares têm operações inversas:
- A troca de duas linhas novamente troca as mesmas linhas, voltando à identidade.
- Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero tem como inverso multiplicar por
. - Adicionar um múltiplo de uma linha a outra pode ser invertido adicionando o múltiplo negativo.
Isso significa que cada matriz elementar tem uma inversa que também é uma matriz elementar, portanto, toda matriz elementar é inversível.
Passo 4
Agora, vamos analisar os valores possíveis para o determinante de uma matriz elementar
. O determinante de uma matriz elemento depende do tipo de operação que ela representa:
- Troca de duas linhas: Multiplica o determinante por
, então . - Multiplicação de uma linha por um escalar
: Multiplica o determinante por , então . - Adição de um múltiplo de uma linha a outra: Não altera o determinante, então
.
Resposta
Toda matriz elementar é inversível, e o determinante de uma matriz elementar
de tamanho
pode ser
, algum escalar
diferente de zero, ou
, dependendo da operação elementar que
representa.