Mostre que toda matriz elementar é inversível e se E é matriz elementar do tipo , explique que valores você pode encontrar para o .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A questão pede para mostrar que toda matriz elementar é inversível e, se for uma matriz elementar de tamanho , explicar quais valores podemos encontrar para o determinante de . Para isso, vamos precisar entender o que são matrizes elementares, como elas funcionam e como calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz elementar. Matrizes elementares são matrizes obtidas a partir da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. Existem três tipos de operações elementares:
  1. Troca de duas linhas.
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Cada uma dessas operações corresponde a um tipo específico de matriz elementar.

Passo 3

Para mostrar que toda matriz elementar é inversível, vamos verificar se existe uma matriz que, quando multiplicada pela matriz elementar, dá a matriz identidade. Sabemos que as operações elementares têm operações inversas:
  1. A troca de duas linhas novamente troca as mesmas linhas, voltando à identidade.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero tem como inverso multiplicar por .
  3. Adicionar um múltiplo de uma linha a outra pode ser invertido adicionando o múltiplo negativo.
Isso significa que cada matriz elementar tem uma inversa que também é uma matriz elementar, portanto, toda matriz elementar é inversível.

Passo 4

Agora, vamos analisar os valores possíveis para o determinante de uma matriz elementar . O determinante de uma matriz elemento depende do tipo de operação que ela representa:
  1. Troca de duas linhas: Multiplica o determinante por , então .
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar : Multiplica o determinante por , então .
  3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra: Não altera o determinante, então .

Resposta

Toda matriz elementar é inversível, e o determinante de uma matriz elementar de tamanho pode ser , algum escalar diferente de zero, ou , dependendo da operação elementar que representa.

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