Mostre que o sistema linear [c3 x+2 y-4 z=1 -x-y+z=-2 y-3 z=4 2 x+2 y-z=0].
é inconsistente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com três incógnitas , e . O objetivo aqui é mostrar que esse sistema não tem solução, ou seja, é inconsistente. Para isso, vamos resolver as equações passo a passo usando métodos de substituição e eliminação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a terceira equação:
y - 3z = 4
Vamos resolver essa equação para y = 3z + 4 :
Isso nos dá uma expressão para em termos de .

Passo 3

Agora, vamos usar essa expressão de -x - y + z = -2 na segunda equação:
-x - (3z + 4) + z = -2
Substituindo -x - 3z - 4 + z = -2 por -x - 2z - 4 = -2 :
-x - 2z = 2
Simplificando:
x + 2z = -2
x = -2 - 2z
Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Passo 4

Vamos agora substituir as expressões de 3x + 2y - 4z = 1 e 3(-2 - 2z) + 2(3z + 4) - 4z = 1 na primeira equação do sistema:
-6 - 6z + 6z + 8 - 4z = 1
Substituindo (-6 + 8) + (-6z + 6z - 4z) = 1 e 2 - 4z = 1 :
-4z = -1
Simplificando:
z = 14
Resolvendo para :

Passo 5

Com y = 3z + 4 = 3(14) + 4 = 34 + 4 = 194 , vamos encontrar usando a expressão que encontramos no Passo 2:

Passo 6

Agora, vamos encontrar x = -2 - 2z = -2 - 2(14) = -2 - 12 = -52 usando a expressão do Passo 3:

Passo 7

Por fim, vamos verificar se esses valores de 2x + 2y - z = 0 , 2(-52) + 2(194) - 14 = -5 + 192 - 14 e -5 = -204, 192 = 384, 14 = 14 satisfazem a quarta equação do sistema:
-204 + 384 - 14 = 174 neq 0
Substituindo:
Convertendo tudo para frações com denominador 4:
Então:
Isso é uma contradição!

Resposta

Como chegamos a uma contradição ( ), isso mostra que o sistema é inconsistente. Ou seja, não existe nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

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