Se
e
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função derivada, que é
, e um ponto inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função original
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é basicamente o processo inverso da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função vetorial, ou seja, tem duas componentes: a primeira componente é a integral da primeira componente da derivada, e a segunda componente é a integral da segunda componente da derivada.
Então, temos:
onde
é uma constante vetorial que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 3
Vamos integrar a primeira componente:
. Para facilitar, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Integrando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos integrar a segunda componente:
. Usamos outra identidade trigonométrica:
Multiplicando por 2:
Então:
Passo 5
Agora, juntamos as integrais para formar
:
Mas ainda não sabemos os valores de
e
.
Passo 6
Usamos a condição inicial
para encontrar
e
. Substituindo
:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Resposta
Portanto, a função
é: