Se sigma^prime(t)=(sen^2 t, 2 cos ^2 t) e sigma(0)=(0,0), encontre sigma(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função derivada, que é sigma^prime(t) = (sin^2 t, 2 cos^2 t), e um ponto inicial sigma(0) = (0,0). Nosso objetivo é encontrar a função original sigma(t). Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é basicamente o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que sigma(t) é uma função vetorial, ou seja, tem duas componentes: a primeira componente é a integral da primeira componente da derivada, e a segunda componente é a integral da segunda componente da derivada.
Então, temos:
sigma(t) = ( integral sin^2 t , dt, integral 2 cos^2 t , dt ) + C
onde C é uma constante vetorial que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos integrar a primeira componente: integral sin^2 t , dt. Para facilitar, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 t = 1 - cos(2t)2
Então:
integral sin^2 t , dt = integral 1 - cos(2t)2 , dt = 12 integral 1 , dt - 12 integral cos(2t) , dt
Integrando termo a termo:
12 t - 14 sin(2t) + C1

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda componente: integral 2 cos^2 t , dt. Usamos outra identidade trigonométrica:
cos^2 t = 1 + cos(2t)2
Multiplicando por 2:
2 cos^2 t = 1 + cos(2t)
Então:
integral 2 cos^2 t , dt = integral 1 , dt + integral cos(2t) , dt = t + 12 sin(2t) + C2

Passo 5

Agora, juntamos as integrais para formar sigma(t):
sigma(t) = ( 12 t - 14 sin(2t) + C1, t + 12 sin(2t) + C2 )
Mas ainda não sabemos os valores de C1 e C2.

Passo 6

Usamos a condição inicial sigma(0) = (0,0) para encontrar C1 e C2. Substituindo t = 0:
Para a primeira componente:
0 = 12(0) - 14 sin(0) + C1 Rightarrow C1 = 0
Para a segunda componente:
0 = 0 + 12 sin(0) + C2 Rightarrow C2 = 0

Resposta

Portanto, a função sigma(t) é:
sigma(t) = ( 12 t - 14 sin(2t), t + 12 sin(2t) )

Exercícios relacionados