(2,0 pontos) Calcule integral x^5+x-1x^3+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve conhecimentos de integração de funções racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do polinômio no numerador ( é de grau 5) é maior que o do denominador ( é de grau 3). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir com a integração.

Passo 3

Vamos dividir x^5 + x - 1x^3 + 1 = x^2 + -x^2 + x - 1x^3 + 1 por :
Aqui, o quociente é e o resto é .

Passo 4

Agora, a integral original pode ser reescrita como:
integral x^5 + x - 1x^3 + 1 , dx = integral x^2 , dx + integral -x^2 + x - 1x^3 + 1 , dx
A primeira parte é fácil de integrar, e vamos focar na segunda parte que é uma fração racional.

Passo 5

Vamos fatorar o denominador x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) :
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais.

Passo 6

Assumimos que:
-x^2 + x - 1x^3 + 1 = Ax + 1 + Bx + Cx^2 - x + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por -x^2 + x - 1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1) para eliminar os denominadores:
A + B = -1 -A + B + C = 1 A + C = -1
Expandindo e agrupando termos semelhantes, obtemos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que , e .

Passo 8

Com os valores de -x^2 + x - 1x^3 + 1 = -1x + 1 , integral -1x + 1 , dx = -ln|x + 1| + C e encontrados, a decomposição fica:
Agora, a integral fica:

Resposta

A integral x^2 - ln|x + 1| + C é igual a:

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