pontos) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso envolve conhecimentos de integração de funções racionais, onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar divisão polinomial e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do polinômio no numerador ( é de grau 5) é maior que o do denominador ( é de grau 3). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir com a integração.

Passo 3

Vamos dividir por :
Aqui, o quociente é e o resto é .

Passo 4

Agora, a integral original pode ser reescrita como:
A primeira parte é fácil de integrar, e vamos focar na segunda parte que é uma fração racional.

Passo 5

Vamos fatorar o denominador :
Agora, vamos decompor a fração em frações parciais.

Passo 6

Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo e agrupando termos semelhantes, obtemos um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que , e .

Passo 8

Com os valores de , e encontrados, a decomposição fica:
Agora, a integral fica:

Resposta

A integral é igual a:

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O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Se , esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que e .
pontos) Encontre a área da região em forma de lua crescente delimitada pelos arcos dos círculos de raios e (veja a figura).
(Dica: faça um esboço no plano cartesiano considerando a circunferência maior com centro na origem e assuma que a distância entre os centros é e defina as coordenadas do centro da circunferência menor em função de e . Defina o centro da circunferência menor. Escreva as equações dessas circunferências e encontre os pontos de interseção para definir o intervalo de integração.)
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que e .
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