O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Mostre que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma substituição onde
. O objetivo é mostrar que, usando essa substituição, as funções
e
podem ser escritas de forma mais simples em termos de
. Isso envolve trigonometria e um pouco de álgebra para converter essas funções trigonométricas em frações racionais de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Sabemos que as funções seno e cosseno podem ser expressas em termos de
usando as fórmulas de ângulo duplo. Vamos derivar essas expressões passo a passo.
Passo 3
Vamos começar com a identidade para o cosseno de
:
Usando a fórmula de duplicação do cosseno:
Aqui,
, então:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para o seno de
:
Usando a fórmula de duplicação do seno:
Com
:
Substituindo
:
Resposta
Portanto, utilizando a substituição
, mostramos que:
e
Exercícios relacionados
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Se
, esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que
e
.
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Mostre que
.
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição
converte qualquer função racional de
e
em uma função racional ordinária de
.
ponto) Calcule
.