O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma substituição onde . O objetivo é mostrar que, usando essa substituição, as funções e podem ser escritas de forma mais simples em termos de . Isso envolve trigonometria e um pouco de álgebra para converter essas funções trigonométricas em frações racionais de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Sabemos que as funções seno e cosseno podem ser expressas em termos de usando as fórmulas de ângulo duplo. Vamos derivar essas expressões passo a passo.

Passo 3

Vamos começar com a identidade para o cosseno de :
Usando a fórmula de duplicação do cosseno:
Aqui, , então:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para o seno de :
Usando a fórmula de duplicação do seno:
Com :
Substituindo :

Resposta

Portanto, utilizando a substituição , mostramos que:
e

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pontos) Calcule .
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Se , esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que e .
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Mostre que .
O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição converte qualquer função racional de e em uma função racional ordinária de . ponto) Calcule .