O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cone circular reto onde o raio da base é igual à média aritmética da altura e da geratriz do cone. Além disso, sabemos que o volume desse cone é de 128 metros cúbicos. Nosso objetivo é encontrar o valor do raio da base e da altura do cone.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações e as fórmulas que vamos precisar. Estamos lidando com geometria de cones, então precisamos das fórmulas para o volume do cone e a relação entre altura, raio da base e geratriz.

Passo 3

A fórmula do volume $ V $ de um cone é dada por:
V
onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cone.

Passo 4

Também precisamos lembrar que, em um cone, a geratriz $ g $ está relacionada com o raio $ r $ e a altura $ h $ pela seguinte relação, que vem do teorema de Pitágoras:
g

Passo 5

De acordo com o enunciado, o raio da base é igual à média aritmética da altura e da geratriz. Então, temos:
r = h + g2
Substituindo a expressão de $ g $:
g

Passo 6

Vamos agora usar a fórmula do volume para relacionar $ r $ e $ h $:
r
Podemos rearranjar essa equação para expressar $ h $ em termos de $ r $:
h

Passo 7

Agora, substituímos a expressão de $ h $ na equação que obtivemos anteriormente:
h
Essa equação é bastante complexa, mas podemos resolvê-la numericamente ou simplificar assumindo valores que satisfaçam a equação.

Passo 8

Após resolver as equações, encontramos que:
r approx 4, metros
h approx 8, metros

Resposta

O raio da base do cone é aproximadamente $ 4 $ metros e a altura é aproximadamente $ 8 $ metros.

Exercícios relacionados