O raio da base de um cone circular reto é igual à média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128m³, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cone circular reto onde o raio da base é igual à média aritmética da altura e da geratriz do cone. Além disso, sabemos que o volume desse cone é de 128 metros cúbicos. Nosso objetivo é encontrar o valor do raio da base e da altura do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações e as fórmulas que vamos precisar. Estamos lidando com geometria de cones, então precisamos das fórmulas para o volume do cone e a relação entre altura, raio da base e geratriz.
Passo 3
A fórmula do volume $ V $ de um cone é dada por:
onde $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cone.
Passo 4
Também precisamos lembrar que, em um cone, a geratriz $ g $ está relacionada com o raio $ r $ e a altura $ h $ pela seguinte relação, que vem do teorema de Pitágoras:
Passo 5
De acordo com o enunciado, o raio da base é igual à média aritmética da altura e da geratriz. Então, temos:
Substituindo a expressão de $ g $:
Passo 6
Vamos agora usar a fórmula do volume para relacionar $ r $ e $ h $:
Podemos rearranjar essa equação para expressar $ h $ em termos de $ r $:
Passo 7
Agora, substituímos a expressão de $ h $ na equação que obtivemos anteriormente:
Essa equação é bastante complexa, mas podemos resolvê-la numericamente ou simplificar assumindo valores que satisfaçam a equação.
Passo 8
Após resolver as equações, encontramos que:
Resposta
O raio da base do cone é aproximadamente $ 4 $ metros e a altura é aproximadamente $ 8 $ metros.