Usando as matrizes e vetores criados, calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente criar algumas matrizes e vetores no MATLAB e, depois, realizar várias operações com elas. Vamos trabalhar com matrizes , , e vetores e . Para resolver isso, precisamos saber como criar matrizes e vetores no MATLAB e como fazer operações básicas como soma, subtração, multiplicação, transposição, inversão, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos criar as matrizes e os vetores no MATLAB. As matrizes são tabelas de números organizados em linhas e colunas, e os vetores são basicamente matrizes com uma única coluna ou linha. No MATLAB, usamos colchetes [ ] para definir matrizes e vetores, e vírgulas ou espaços para separar os elementos.
Agora que temos as matrizes e os vetores criados, vamos começar a resolver cada parte do exercício.
a)
Isso é uma soma de matrizes. Para somar duas matrizes, elas precisam ter o mesmo tamanho, ou seja, o mesmo número de linhas e colunas. A soma é feita somando elemento por elemento.
b)
Esta é uma subtração de matrizes, funcionando de forma semelhante à soma, subtraindo elemento por elemento.
c)
Aqui, o asterisco * representa a multiplicação de matrizes. Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
Fazendo as contas:
Calculando cada elemento:
d)
Parece que há um erro de digitação aqui. O operador .* no MATLAB representa a multiplicação elemento a elemento, também chamada de produto Hadamard. Para usar esse operador, as matrizes precisam ser do mesmo tamanho e multiplicadas elemento por elemento, diferente da multiplicação de matrizes tradicional.
e)
Primeiro, vamos calcular e depois multiplicar a matriz pelo resultado.
Agora, multiplicamos por :
Calculando cada elemento:
f)
Primeiro, calculamos e separadamente (já calculamos no item c)). Agora precisamos calcular .
Calculando cada elemento:
Agora, somamos e :
Notamos que há uma pequena diferença no item e) e neste item f). Isso ocorre porque, na verdade, é igual a , conforme a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição de matrizes.
g)
Este item parece estar utilizando operadores que não são padrão no MATLAB. O operador ./ no MATLAB representa a divisão elemento a elemento. Para usá-lo, as matrizes devem ter o mesmo tamanho, e a divisão é feita dividindo cada elemento de pelo correspondente de .
h)
No MATLAB, o operador \ é usado para resolver sistemas de equações lineares. Resolver significa encontrar um vetor que satisfaça . Isso é feito usando métodos como eliminação de Gauss ou decomposição LU.
Para resolver manualmente, precisaríamos encontrar tal que:
Isso envolve resolver um sistema de equações lineares, o que pode ser trabalhoso manualmente. No MATLAB, simplesmente usamos x = A \ v1;, mas aqui vamos deixar a resposta como a solução do sistema:
Calculando a inversa de e multiplicando por :
O cálculo completo da inversa está além do escopo aqui, mas essa é a metodologia.
i)
Aqui, significa multiplicar a matriz por ela mesma três vezes:
Primeiro, calculamos , depois multiplicamos o resultado por novamente. Isso é trabalhoso manualmente, então no MATLAB usaríamos A^3.
j)
O apóstrofo no MATLAB representa a transposição de uma matriz, ou seja, trocar linhas por colunas.
Primeiro, transponhamos e :
Agora, somamos as matrizes transpostas:
k)
Primeiro, calculamos (já feito no item a)), e depois transponemos o resultado:
l)
Aqui, é o vetor transposto (passa de uma coluna para uma linha). Quando multiplicamos um vetor linha por um vetor coluna, obtemos um produto interno, que resulta em um único número.
Primeiro, transponhamos :
Agora, multiplicamos por :
Resposta
A seguir estão as respostas para cada parte do exercício:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) é a solução do sistema , que pode ser encontrada usando