Calcule a derivada das funções a seguir:
(d) w=3 x^2-2 x+12^x;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente usando a Regra do Quociente e as propriedades das funções exponenciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções do tipo e como lidar com exponenciais com bases diferentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função:
  • Numerador: w' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2
  • Denominador:
Para derivar , usamos a Regra do Quociente, que diz:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada do numerador f(x) = 3x^2 - 2x + 1 :
f'(x) = 6x - 2
g(x) = 2^x
Agora, a derivada do denominador g'(x) = 2^x ln(2) . Sabemos que a derivada de em relação a é , então:

Passo 4

Agora que temos w' = (6x - 2) cdot 2^x - (3x^2 - 2x + 1) cdot 2^x ln(2)(2^x)^2 e w' = 2^x[6x - 2 - (3x^2 - 2x + 1)ln(2)]2^2x , vamos aplicar a Regra do Quociente:
w' = 6x - 2 - (3x^2 - 2x + 1)ln(2)2^x
Podemos simplificar um pouco retirando do numerador:
Como , podemos simplificar mais:

Resposta

A derivada da função é
w' = 6x - 2 - (3x^2 - 2x + 1)ln(2)2^x

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