A matriz foi obtida a partir da matriz através das seguintes operações:
troca da linha pela linha ,
multiplicação da linha por 3,
substituição da linha por ,
substituição da linha por .
Calcule .
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , onde foi obtida a partir de através de algumas operações nas linhas. O objetivo é calcular o determinante da expressão . Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações nas linhas afetam o determinante e como manipular determinantes de matrizes envolvendo transposição, inversa e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é uma medida que nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz e o fator de escala que a matriz representa. Algumas propriedades importantes do determinante são:
Determinante da Transposta: .
Determinante da Inversa: .
Determinante de uma Potência: .
Determinante de uma Matriz Escalar: Para um escalar e uma matriz de ordem , .
Efeito das Operações nas Linhas:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por .
Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por .
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Vamos usar essas propriedades para encontrar .
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Aplicando as propriedades dos determinantes:
Onde é a matriz identidade de ordem 4, pois é .
Calculando cada parte:
Determinante da Matriz Escalar:
Determinante da Transposta:
Determinante da Inversa ao Quadrado:
Multiplicando tudo:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar . Sabemos que a matriz foi obtida a partir de através de algumas operações nas linhas. Vamos analisar cada operação e como elas afetam o determinante:
Troca da linha pela linha :
Trocar duas linhas multiplica o determinante por .
Multiplicação da linha por 3:
Multiplicar uma linha por 3 multiplica o determinante por 3.
Substituição da linha por :
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Substituição da linha por :
Novamente, adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Então, o efeito total nas operações é multiplicar o determinante de por (pela troca de linhas) e por (pela multiplicação na linha 3). Portanto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o determinante da matriz . Observando a matriz :
Como é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Então, .
Passo 6
Lembrando que , podemos resolver para :
Passo 7
Agora, voltando à expressão que queríamos calcular: