A matriz foi obtida a partir da matriz A=(ai j)4 times 4 através das seguintes operações:
troca da linha L2 pela linha L4,
multiplicação da linha L3 por 3,
substituição da linha L2 por (-1) L4+L2,
substituição da linha L1 por 2 L4+L1.
Calcule det(raiz2 A^t(A^-1)^2).
Passo 1
Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, A e B, onde B foi obtida a partir de A através de algumas operações nas linhas. O objetivo é calcular o determinante da expressão raiz2 A^t(A^-1)^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações nas linhas afetam o determinante e como manipular determinantes de matrizes envolvendo transposição, inversa e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz A é uma medida que nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz e o fator de escala que a matriz representa. Algumas propriedades importantes do determinante são:
Determinante da Transposta: det(A^t) = det(A).
Determinante da Inversa: det(A^-1) = 1det(A).
Determinante de uma Potência: det(A^k) = (det(A))^k.
Determinante de uma Matriz Escalar: Para um escalar c e uma matriz A de ordem n, det(cA) = c^n det(A).
Efeito das Operações nas Linhas:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Vamos usar essas propriedades para encontrar det(raiz2 A^t(A^-1)^2).
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a expressão raiz2 A^t(A^-1)^2. Aplicando as propriedades dos determinantes:
Agora, precisamos encontrar det(A). Sabemos que a matriz B foi obtida a partir de A através de algumas operações nas linhas. Vamos analisar cada operação e como elas afetam o determinante:
Troca da linha L2 pela linha L4:
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Multiplicação da linha L3 por 3:
Multiplicar uma linha por 3 multiplica o determinante por 3.
Substituição da linha L2 por (-1)L4 + L2:
Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Substituição da linha L1 por 2L4 + L1:
Novamente, adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Então, o efeito total nas operações é multiplicar o determinante de A por -1 (pela troca de linhas) e por 3 (pela multiplicação na linha 3). Portanto:
det(B) = (-1) times 3 times det(A) = -3 det(A)
Passo 5
Agora, vamos encontrar o determinante da matriz B. Observando a matriz B:
Como B é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
det(B) = (-2) times (-2) times 2 times 3 = (-2) times (-2) = 4; 4 times 2 = 8; 8 times 3 = 24
Então, det(B) = 24.
Passo 6
Lembrando que det(B) = -3 det(A), podemos resolver para det(A):
-3 det(A) = 24 implies det(A) = 24-3 = -8
Passo 7
Agora, voltando à expressão que queríamos calcular: