A matriz foi obtida a partir da matriz através das seguintes operações:
  • troca da linha pela linha ,
  • multiplicação da linha por 3,
  • substituição da linha por ,
  • substituição da linha por .
    Calcule .

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , onde foi obtida a partir de através de algumas operações nas linhas. O objetivo é calcular o determinante da expressão . Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações nas linhas afetam o determinante e como manipular determinantes de matrizes envolvendo transposição, inversa e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz é uma medida que nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz e o fator de escala que a matriz representa. Algumas propriedades importantes do determinante são:
  1. Determinante da Transposta: .
  2. Determinante da Inversa: .
  3. Determinante de uma Potência: .
  4. Determinante de uma Matriz Escalar: Para um escalar e uma matriz de ordem , .
  5. Efeito das Operações nas Linhas:
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por .
    • Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por .
    • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Vamos usar essas propriedades para encontrar .

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Aplicando as propriedades dos determinantes:
Onde é a matriz identidade de ordem 4, pois é .
Calculando cada parte:
  1. Determinante da Matriz Escalar:
  2. Determinante da Transposta:
  3. Determinante da Inversa ao Quadrado:
Multiplicando tudo:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que a matriz foi obtida a partir de através de algumas operações nas linhas. Vamos analisar cada operação e como elas afetam o determinante:
  1. Troca da linha pela linha :
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por .
  2. Multiplicação da linha por 3:
    • Multiplicar uma linha por 3 multiplica o determinante por 3.
  3. Substituição da linha por :
    • Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
  4. Substituição da linha por :
    • Novamente, adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Então, o efeito total nas operações é multiplicar o determinante de por (pela troca de linhas) e por (pela multiplicação na linha 3). Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o determinante da matriz . Observando a matriz :
Como é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
Então, .

Passo 6

Lembrando que , podemos resolver para :

Passo 7

Agora, voltando à expressão que queríamos calcular:

Resposta

O determinante de é .

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Seja uma matriz . Se , calcule:
c)
Sejam e . Mostre que .
Usando as propriedades do determinante, calcule o determinante das matrizes:
b)
Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam e matrizes .
c) Se é invertível então é invertível.