A matriz B=[rrrr-2 & 0 & 0 & 0 2 & -2 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & 0 -1 & 5 & 4 & 3] foi obtida a partir da matriz A=(ai j)4 times 4 através das seguintes operações:
  • troca da linha L2 pela linha L4,
  • multiplicação da linha L3 por 3,
  • substituição da linha L2 por (-1) L4+L2,
  • substituição da linha L1 por 2 L4+L1.
    Calcule det(raiz2 A^t(A^-1)^2).

Passo 1

Então, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, A e B, onde B foi obtida a partir de A através de algumas operações nas linhas. O objetivo é calcular o determinante da expressão raiz2 A^t(A^-1)^2. Para resolver isso, vamos precisar entender como as operações nas linhas afetam o determinante e como manipular determinantes de matrizes envolvendo transposição, inversa e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz A é uma medida que nos dá informações sobre a invertibilidade da matriz e o fator de escala que a matriz representa. Algumas propriedades importantes do determinante são:
  1. Determinante da Transposta: det(A^t) = det(A).
  2. Determinante da Inversa: det(A^-1) = 1det(A).
  3. Determinante de uma Potência: det(A^k) = (det(A))^k.
  4. Determinante de uma Matriz Escalar: Para um escalar c e uma matriz A de ordem n, det(cA) = c^n det(A).
  5. Efeito das Operações nas Linhas:
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
    • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
    • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Vamos usar essas propriedades para encontrar det(raiz2 A^t(A^-1)^2).

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a expressão raiz2 A^t(A^-1)^2. Aplicando as propriedades dos determinantes:
det(raiz2 A^t(A^-1)^2) = det(raiz2 I) cdot det(A^t) cdot det((A^-1)^2)
Onde I é a matriz identidade de ordem 4, pois A é 4 times 4.
Calculando cada parte:
  1. Determinante da Matriz Escalar:
    det(raiz2 I) = (raiz2)^4 = 4
  2. Determinante da Transposta:
    det(A^t) = det(A)
  3. Determinante da Inversa ao Quadrado:
    det((A^-1)^2) = (det(A^-1))^2 = (1det(A))^2 = 1(det(A))^2
Multiplicando tudo:
det(raiz2 A^t(A^-1)^2) = 4 cdot det(A) cdot 1(det(A))^2 = 4 cdot 1det(A)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar det(A). Sabemos que a matriz B foi obtida a partir de A através de algumas operações nas linhas. Vamos analisar cada operação e como elas afetam o determinante:
  1. Troca da linha L2 pela linha L4:
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  2. Multiplicação da linha L3 por 3:
    • Multiplicar uma linha por 3 multiplica o determinante por 3.
  3. Substituição da linha L2 por (-1)L4 + L2:
    • Adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
  4. Substituição da linha L1 por 2L4 + L1:
    • Novamente, adicionar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
Então, o efeito total nas operações é multiplicar o determinante de A por -1 (pela troca de linhas) e por 3 (pela multiplicação na linha 3). Portanto:
det(B) = (-1) times 3 times det(A) = -3 det(A)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o determinante da matriz B. Observando a matriz B:
B = -2 & 0 & 0 & 0 2 & -2 & 0 & 0 0 & 3 & 2 & 0 -1 & 5 & 4 & 3
Como B é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero), o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Portanto:
det(B) = (-2) times (-2) times 2 times 3 = (-2) times (-2) = 4; 4 times 2 = 8; 8 times 3 = 24
Então, det(B) = 24.

Passo 6

Lembrando que det(B) = -3 det(A), podemos resolver para det(A):
-3 det(A) = 24 implies det(A) = 24-3 = -8

Passo 7

Agora, voltando à expressão que queríamos calcular:
det(raiz2 A^t(A^-1)^2) = 4 cdot 1det(A) = 4 cdot 1-8 = -12

Resposta

O determinante de raiz2 A^t(A^-1)^2 é -dfrac12.

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