Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam A e B matrizes n times n.
c) Se A^2 é invertível então A^3 é invertível.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem . A pergunta é: Se é invertível, então é invertível? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as potências de uma matriz se comportam em relação à invertibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz MM^-1 = M^-1M = I é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, se A^2(A^2)^-1 = (A^2)^-1A^2 = I é invertível, isso significa que existe uma matriz que satisfaz:
Isso nos indica que tem uma inversa.

Passo 4

Vamos analisar o que isso implica para a matriz original. Se é invertível, então também deve ser invertível. Isso porque, se não fosse invertível, também não poderia ser invertível (já que o produto de matrizes não invertíveis não é invertível).

Passo 5

Agora que sabemos que A^3 = A cdot A^2 é invertível, podemos considerar (A^3)^-1 = (A^2)^-1 cdot A^-1 :
Como tanto quanto são invertíveis, o produto também será invertível. Isso ocorre porque o produto de matrizes invertíveis é invertível, e a inversa de pode ser expressa como:

Resposta

Verdadeiro. Se é invertível, então também é invertível, o que garante que seja invertível.

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