Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam e matrizes .
c) Se é invertível então é invertível.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem . A pergunta é: Se é invertível, então é invertível? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as potências de uma matriz se comportam em relação à invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, se é invertível, isso significa que existe uma matriz que satisfaz:
Isso nos indica que tem uma inversa.
Passo 4
Vamos analisar o que isso implica para a matriz original. Se é invertível, então também deve ser invertível. Isso porque, se não fosse invertível, também não poderia ser invertível (já que o produto de matrizes não invertíveis não é invertível).
Passo 5
Agora que sabemos que é invertível, podemos considerar :
Como tanto quanto são invertíveis, o produto também será invertível. Isso ocorre porque o produto de matrizes invertíveis é invertível, e a inversa de pode ser expressa como:
Resposta
Verdadeiro. Se é invertível, então também é invertível, o que garante que seja invertível.