Responda Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta:
Sejam
e
matrizes
.
c) Se
é invertível então
é invertível.
Sejam
c) Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
. A pergunta é: Se
é invertível, então
é invertível? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as potências de uma matriz se comportam em relação à invertibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, se
é invertível, isso significa que existe uma matriz
que satisfaz:
Isso nos indica que
tem uma inversa.
Passo 4
Vamos analisar o que isso implica para a matriz
original. Se
é invertível, então
também deve ser invertível. Isso porque, se
não fosse invertível,
também não poderia ser invertível (já que o produto de matrizes não invertíveis não é invertível).
Passo 5
Agora que sabemos que
é invertível, podemos considerar
:
Como tanto
quanto
são invertíveis, o produto
também será invertível. Isso ocorre porque o produto de matrizes invertíveis é invertível, e a inversa de
pode ser expressa como:
Resposta
Verdadeiro. Se
é invertível, então
também é invertível, o que garante que
seja invertível.