Sejam A=[lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 0 6 & 7 & 8] e B=[rrr-1 & 2 & 3 0 & 7 & 4 1 & 3 & 1]. Mostre que det(A+B)=-296 e det(A)+det(B)=-38.

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 0 6 & 7 & 8 e B = -1 & 2 & 3 0 & 7 & 4 1 & 3 & 1 e dadas assim:
A tarefa é mostrar que o determinante de é igual a e que a soma dos determinantes de e é . Vamos usar conceitos de matrizes e determinantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as duas matrizes A + B = 1 + (-1) & 2 + 2 & 3 + 3 4 + 0 & 5 + 7 & 0 + 4 6 + 1 & 7 + 3 & 8 + 1 = 0 & 4 & 6 4 & 12 & 4 7 & 10 & 9 e . Para isso, somamos elemento a elemento:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante de det(A+B) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz det(A+B) &= 0 times (12 times 9 - 4 times 10) - 4 times (4 times 9 - 4 times 7) + 6 times (4 times 10 - 12 times 7) &= 0 times (108 - 40) - 4 times (36 - 28) + 6 times (40 - 84) &= 0 times 68 - 4 times 8 + 6 times (-44) &= 0 - 32 - 264 &= -296 , o determinante é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 4

Agora, vamos calcular os determinantes de det(A) &= 1 times (5 times 8 - 0 times 7) - 2 times (4 times 8 - 0 times 6) + 3 times (4 times 7 - 5 times 6) &= 1 times (40 - 0) - 2 times (32 - 0) + 3 times (28 - 30) &= 40 - 64 + 3 times (-2) &= 40 - 64 - 6 &= -30 e det(B) &= (-1) times (7 times 1 - 4 times 3) - 2 times (0 times 1 - 4 times 1) + 3 times (0 times 3 - 7 times 1) &= (-1) times (7 - 12) - 2 times (0 - 4) + 3 times (0 - 7) &= (-1) times (-5) - 2 times (-4) + 3 times (-7) &= 5 + 8 - 21 &= -8 separadamente e somá-los.
Determinante de det(A) + det(B) = -30 + (-8) = -38 :
Determinante de :
Somando os determinantes de e :

Resposta

det(A+B) = -296 e det(A) + det(B) = -38

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