Se
é uma matriz
, inversível e triangular superior, então sua matriz inversa também é triangular superior. Falso ou verdadeiro? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas (ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas) que são triangulares superiores e inversíveis. Queremos descobrir se a matriz inversa dessas matrizes também é triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser triangular superior e como funciona a inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz
é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo
, o elemento
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes inversíveis. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Sabendo que
é triangular superior e inversível, queremos mostrar que
também é triangular superior. Para isso, vamos usar o fato de que a inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior.
Passo 5
Vamos considerar a multiplicação de duas matrizes triangulares superiores. O produto de duas matrizes triangulares superiores é também uma matriz triangular superior. Sabendo disso, se
é triangular superior e
é sua inversa, então
deve ser triangular superior para que o produto
seja a identidade, que é uma matriz triangular superior.
Passo 6
Portanto, a estrutura triangular superior se mantém na inversa porque a multiplicação mantém essa propriedade, e a identidade é o único caso que fazemos essa equação. Isso garante que
também seja triangular superior.
Resposta
Verdadeiro. A matriz inversa de uma matriz triangular superior e inversível também é triangular superior.