Se A é uma matriz n times n, inversível e triangular superior, então sua matriz inversa também é triangular superior. Falso ou verdadeiro? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes quadradas (ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas) que são triangulares superiores e inversíveis. Queremos descobrir se a matriz inversa dessas matrizes também é triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser triangular superior e como funciona a inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Ou seja, para todo , o elemento .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes inversíveis. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 4

Sabendo que é triangular superior e inversível, queremos mostrar que também é triangular superior. Para isso, vamos usar o fato de que a inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior.

Passo 5

Vamos considerar a multiplicação de duas matrizes triangulares superiores. O produto de duas matrizes triangulares superiores é também uma matriz triangular superior. Sabendo disso, se é triangular superior e é sua inversa, então deve ser triangular superior para que o produto seja a identidade, que é uma matriz triangular superior.

Passo 6

Portanto, a estrutura triangular superior se mantém na inversa porque a multiplicação mantém essa propriedade, e a identidade é o único caso que fazemos essa equação. Isso garante que também seja triangular superior.

Resposta

Verdadeiro. A matriz inversa de uma matriz triangular superior e inversível também é triangular superior.

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