A matriz P a seguir é a matriz aumentada obtida de um sistema linear nas variáveis P=(rrrrrr 1 & 2 & 5 & 4 & 2 & 2 0 & 1 & -1 & -1 & 2 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 5 )
a) Escreva a solução deste sistema na forma vetorial ( vetor

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz aumentada que representa um sistema de equações lineares com cinco variáveis: e . Nosso objetivo é encontrar a solução desse sistema e expressá-la na forma vetorial. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre sistemas lineares e formas vetoriais das soluções.

Passo 2

Vamos reescrever o sistema de equações a partir da matriz aumentada x1 + 2x2 + 5x3 + 4x4 + 2x5 = 2 x2 - x3 - x4 + 2x5 = 4 x4 - x5 = 5 :

Passo 3

Observamos que a terceira equação envolve apenas x4 = x5 + 5 e . Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, :

Passo 4

Substituímos x2 - x3 - (x5 + 5) + 2x5 = 4 na segunda equação:
x2 - x3 + x5 - 5 = 4 x2 = x3 - x5 + 9
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos x1 + 2(x3 - x5 + 9) + 5x3 + 4(x5 + 5) + 2x5 = 2 e x1 + 2x3 - 2x5 + 18 + 5x3 + 4x5 + 20 + 2x5 = 2 x1 + 7x3 + 4x5 + 38 = 2 x1 = -7x3 - 4x5 - 36 na primeira equação:
Distribuindo e simplificando:

Passo 6

Agora, identificamos que x1 = -7s - 4t - 36 x2 = s - t + 9 x3 = s x4 = t + 5 x5 = t e são variáveis livres que podem assumir qualquer valor real. Vamos chamar e , onde e são parâmetros livres.
Substituindo:

Passo 7

Podemos expressar a solução do sistema na forma vetorial combinando os termos constantes e os termos que dependem dos parâmetros x = x1 x2 x3 x4 x5 = -36 9 0 5 0 + s -7 1 1 0 0 + t -4 -1 0 1 1 e :

Resposta

A solução do sistema na forma vetorial é:
x = -36 9 0 5 0 + s -7 1 1 0 0 + t -4 -1 0 1 1 , onde s, t in R

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