Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
P2(R)=a0+a1 x+a2 x^2 mid ai in R com as operações de soma e multiplicação definidas por
(a0+a1 x+a2 x^2)+(b0+b1 x+b2 x^2)=(a0+b0)+(a1+b1) x+(a2+b2) x^2 z(a0+a1 x+a2 x^2)=z a0+z a1 x+z a2 x^2, z in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o enunciado está pedindo é para mostrar que o conjunto , que consiste em polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais, é um espaço vetorial. Isso significa que esse conjunto deve obedecer a certas regras chamadas axiomas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender e verificar cada um desses axiomas usando as operações de soma e multiplicação definidas no enunciado.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser somados entre si e multiplicados por escalares (números reais, nesse caso), obedecendo a oito regras básicas (axiomas). Essas regras garantem que as operações de soma e multiplicação funcionem de maneira consistente.

Passo 3

O primeiro axioma que vamos verificar é a comutatividade da soma. Isso significa que, para quaisquer dois polinômios u = a0 + a1x + a2x^2 e v = b0 + b1x + b2x^2 em u + v = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 , a soma v + u = (b0 + a0) + (b1 + a1)x + (b2 + a2)x^2 deve ser igual a .
Vamos considerar:
A soma desses dois polinômios é:
E vice-versa:
Como a adição de números reais é comutativa ( ), temos que . Portanto, a comutatividade está satisfeita.

Passo 4

O próximo axioma é a associatividade da soma. Isso quer dizer que, para três polinômios w = c0 + c1x + c2x^2 , (u + v) + w = [(a0 + b0) + c0] + [(a1 + b1) + c1]x + [(a2 + b2) + c2]x^2 e u + (v + w) = [a0 + (b0 + c0)] + [a1 + (b1 + c1)]x + [a2 + (b2 + c2)]x^2 em , a soma deve ser igual a .
Vamos definir:
Calculando :
E :
Novamente, como a adição é associativa nos números reais ( ), temos que . A associatividade está ok!

Passo 5

Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a soma, ou seja, se existe um polinômio zero no conjunto tal que, quando somado a qualquer polinômio 0 = 0 + 0x + 0x^2 , ele não muda u + 0 = (a0 + 0) + (a1 + 0)x + (a2 + 0)x^2 = a0 + a1x + a2x^2 = u .
O polinômio zero em é:
Somando com qualquer :
Portanto, o polinômio zero serve como elemento neutro.

Passo 6

Vamos agora verificar a existência de inversos aditivos. Isso significa que para todo polinômio -u = (-a0) + (-a1)x + (-a2)x^2 , deve existir um polinômio u + (-u) = (a0 - a0) + (a1 - a1)x + (a2 - a2)x^2 = 0 + 0x + 0x^2 = 0 tal que .
Para , o inverso aditivo é:
Somando:
Assim, todo polinômio tem seu inverso aditivo no conjunto.

Passo 7

O próximo axioma é a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores. Ou seja, para um escalar z(u + v) = zu + zv e polinômios u + v = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 e z(u + v) = z(a0 + b0) + z(a1 + b1)x + z(a2 + b2)x^2 = (za0 + zb0) + (za1 + zb1)x + (za2 + zb2)x^2 , devemos ter:
zu + zv = [za0 + za1x + za2x^2] + [zb0 + zb1x + zb2x^2] = (za0 + zb0) + (za1 + zb1)x + (za2 + zb2)x^2
Usando as definições:
Vemos que . Então, esse axioma está válido.

Passo 8

Vamos verificar a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares. Para dois escalares (z + y)u = zu + yu e (z + y)u = (z + y)a0 + (z + y)a1x + (z + y)a2x^2 = za0 + ya0 + za1x + ya1x + za2x^2 + ya2x^2 , e um polinômio zu + yu = [za0 + za1x + za2x^2] + [ya0 + ya1x + ya2x^2] = (za0 + ya0) + (za1 + ya1)x + (za2 + ya2)x^2 , devemos ter:
Calculando:
Assim, . Esse axioma também está cumprido.

Passo 9

O penúltimo axioma a verificar é a compatibilidade da multiplicação escalar. Isso significa que, para dois escalares z(yu) = (zy)u e yu = y a0 + y a1x + y a2x^2 , e um polinômio z(yu) = z(y a0) + z(y a1)x + z(y a2)x^2 = (zy)a0 + (zy)a1x + (zy)a2x^2 , devemos ter:
(zy)u = (zy)a0 + (zy)a1x + (zy)a2x^2
Calculando:
Portanto, , satisfazendo o axioma.

Passo 10

Finalmente, vamos verificar o axioma da multiplicação escalar identidade. Isso quer dizer que multiplicar qualquer polinômio 1 cdot u = 1 cdot a0 + 1 cdot a1x + 1 cdot a2x^2 = a0 + a1x + a2x^2 = u por 1 deve resultar no próprio .
Para :
Logo, esse axioma também está cumprido.

Resposta

Como verificamos todos os axiomas de um espaço vetorial estão satisfeitos para com as operações definidas, concluímos que é de fato um espaço vetorial.

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