Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais com as operações de soma e multiplicação definidas por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o enunciado está pedindo é para mostrar que o conjunto , que consiste em polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais, é um espaço vetorial. Isso significa que esse conjunto deve obedecer a certas regras chamadas axiomas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender e verificar cada um desses axiomas usando as operações de soma e multiplicação definidas no enunciado.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser somados entre si e multiplicados por escalares (números reais, nesse caso), obedecendo a oito regras básicas (axiomas). Essas regras garantem que as operações de soma e multiplicação funcionem de maneira consistente.
Passo 3
O primeiro axioma que vamos verificar é a comutatividade da soma. Isso significa que, para quaisquer dois polinômios e em , a soma deve ser igual a .
Vamos considerar:
A soma desses dois polinômios é:
E vice-versa:
Como a adição de números reais é comutativa (), temos que . Portanto, a comutatividade está satisfeita.
Passo 4
O próximo axioma é a associatividade da soma. Isso quer dizer que, para três polinômios , e em , a soma deve ser igual a .
Vamos definir:
Calculando :
E :
Novamente, como a adição é associativa nos números reais (), temos que . A associatividade está ok!
Passo 5
Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a soma, ou seja, se existe um polinômio zero no conjunto tal que, quando somado a qualquer polinômio , ele não muda .
O polinômio zero em é:
Somando com qualquer :
Portanto, o polinômio zero serve como elemento neutro.
Passo 6
Vamos agora verificar a existência de inversos aditivos. Isso significa que para todo polinômio , deve existir um polinômio tal que .
Para , o inverso aditivo é:
Somando:
Assim, todo polinômio tem seu inverso aditivo no conjunto.
Passo 7
O próximo axioma é a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores. Ou seja, para um escalar e polinômios e , devemos ter:
Usando as definições:
Vemos que . Então, esse axioma está válido.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares. Para dois escalares e , e um polinômio , devemos ter:
Calculando:
Assim, . Esse axioma também está cumprido.
Passo 9
O penúltimo axioma a verificar é a compatibilidade da multiplicação escalar. Isso significa que, para dois escalares e , e um polinômio , devemos ter:
Calculando:
Portanto, , satisfazendo o axioma.
Passo 10
Finalmente, vamos verificar o axioma da multiplicação escalar identidade. Isso quer dizer que multiplicar qualquer polinômio por 1 deve resultar no próprio .
Para :
Logo, esse axioma também está cumprido.
Resposta
Como verificamos todos os axiomas de um espaço vetorial estão satisfeitos para com as operações definidas, concluímos que é de fato um espaço vetorial.