Mostre que os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
com as operações de soma e multiplicação definidas por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que o enunciado está pedindo é para mostrar que o conjunto
, que consiste em polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais, é um espaço vetorial. Isso significa que esse conjunto deve obedecer a certas regras chamadas axiomas de espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender e verificar cada um desses axiomas usando as operações de soma e multiplicação definidas no enunciado.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, que podem ser somados entre si e multiplicados por escalares (números reais, nesse caso), obedecendo a oito regras básicas (axiomas). Essas regras garantem que as operações de soma e multiplicação funcionem de maneira consistente.
Passo 3
O primeiro axioma que vamos verificar é a comutatividade da soma. Isso significa que, para quaisquer dois polinômios
e
em
, a soma
deve ser igual a
.
Vamos considerar:
A soma desses dois polinômios é:
E vice-versa:
Como a adição de números reais é comutativa (
), temos que
. Portanto, a comutatividade está satisfeita.
Passo 4
O próximo axioma é a associatividade da soma. Isso quer dizer que, para três polinômios
,
e
em
, a soma
deve ser igual a
.
Vamos definir:
Calculando
:
E
:
Novamente, como a adição é associativa nos números reais (
), temos que
. A associatividade está ok!
Passo 5
Agora, vamos verificar a existência do elemento neutro para a soma, ou seja, se existe um polinômio zero no conjunto tal que, quando somado a qualquer polinômio
, ele não muda
.
O polinômio zero em
é:
Somando com qualquer
:
Portanto, o polinômio zero serve como elemento neutro.
Passo 6
Vamos agora verificar a existência de inversos aditivos. Isso significa que para todo polinômio
, deve existir um polinômio
tal que
.
Para
, o inverso aditivo é:
Somando:
Assim, todo polinômio tem seu inverso aditivo no conjunto.
Passo 7
O próximo axioma é a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de vetores. Ou seja, para um escalar
e polinômios
e
, devemos ter:
Usando as definições:
Vemos que
. Então, esse axioma está válido.
Passo 8
Vamos verificar a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares. Para dois escalares
e
, e um polinômio
, devemos ter:
Calculando:
Assim,
. Esse axioma também está cumprido.
Passo 9
O penúltimo axioma a verificar é a compatibilidade da multiplicação escalar. Isso significa que, para dois escalares
e
, e um polinômio
, devemos ter:
Calculando:
Portanto,
, satisfazendo o axioma.
Passo 10
Finalmente, vamos verificar o axioma da multiplicação escalar identidade. Isso quer dizer que multiplicar qualquer polinômio
por 1 deve resultar no próprio
.
Para
:
Logo, esse axioma também está cumprido.
Resposta
Como verificamos todos os axiomas de um espaço vetorial estão satisfeitos para
com as operações definidas, concluímos que
é de fato um espaço vetorial.