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Questão) A reunião de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V qualquer sempre é um subespaço vetorial do espaço vetorial V.Se a resposta for sim, prove este resultado. Se a resposta for não, cite um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a união de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial
sempre resulta em um subespaço vetorial. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como funciona a união de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero:
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em .
Passo 3
Agora, vamos pensar na união de dois subespaços vetoriais
e
de
, ou seja,
. A questão é: será que
também é um subespaço vetorial?
Para que
seja um subespaço, ele precisa cumprir as três condições que mencionei acima. Vamos analisar:
- Contém o vetor zero: Sim, porque tanto
quanto contêm o vetor zero. - Fechado sob adição: Aqui começa o problema. Se pegarmos um vetor de
e outro de , a soma deles nem sempre estará em ou em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e são fechados sob multiplicação por escalar, então também será, mas o problema está na adição.
Passo 4
Como a condição de fechamento sob adição nem sempre é satisfeita, a união
não é necessariamente um subespaço vetorial. Vamos ver um contra-exemplo para ficar mais claro:
Contra-exemplo:
- Seja
. - Defina
, que é o eixo . - Defina
, que é o eixo .
A união
consiste em todos os vetores que estão no eixo
ou no eixo
. Agora, vamos pegar dois vetores diferentes:
Somando
, que não está nem em
nem em
. Portanto,
não está fechado sob adição, o que significa que não é um subespaço vetorial.
Resposta
Não, a união de dois subespaços vetoriais de
nem sempre é um subespaço vetorial. Por exemplo, em
, a união dos eixos
e
não forma um subespaço vetorial, pois não é fechada sob adição.