( 2^a Questão) A reunião de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial V qualquer sempre é um subespaço vetorial do espaço vetorial V.Se a resposta for sim, prove este resultado. Se a resposta for não, cite um contra-exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a união de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial sempre resulta em um subespaço vetorial. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como funciona a união de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então está em .

Passo 3

Agora, vamos pensar na união de dois subespaços vetoriais e de , ou seja, . A questão é: será que também é um subespaço vetorial?
Para que seja um subespaço, ele precisa cumprir as três condições que mencionei acima. Vamos analisar:
  1. Contém o vetor zero: Sim, porque tanto quanto contêm o vetor zero.
  2. Fechado sob adição: Aqui começa o problema. Se pegarmos um vetor de e outro de , a soma deles nem sempre estará em ou em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se e são fechados sob multiplicação por escalar, então também será, mas o problema está na adição.

Passo 4

Como a condição de fechamento sob adição nem sempre é satisfeita, a união não é necessariamente um subespaço vetorial. Vamos ver um contra-exemplo para ficar mais claro:
Contra-exemplo:
  • Seja .
  • Defina , que é o eixo .
  • Defina , que é o eixo .
A união consiste em todos os vetores que estão no eixo ou no eixo . Agora, vamos pegar dois vetores diferentes:
Somando , que não está nem em nem em . Portanto, não está fechado sob adição, o que significa que não é um subespaço vetorial.

Resposta

Não, a união de dois subespaços vetoriais de nem sempre é um subespaço vetorial. Por exemplo, em , a união dos eixos e não forma um subespaço vetorial, pois não é fechada sob adição.

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