Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas:
(b) lx1+x2+x3=0 -x2+2 x3=0 2 x1+2 x2=1 Resp.: x1=3 / 2, x2=-1 e x3=-1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. O que você precisa saber aqui é que a Regra de Cramer é uma técnica para resolver sistemas lineares usando determinantes. Primeiro, vamos entender o sistema que temos:
x1 + x2 + x3 = 0 - x2 + 2x3 = 0 2x1 + 2x2 = 1
Para aplicar a Regra de Cramer, precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seus determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes (chamada de matriz A = 1 & 1 & 1 0 & -1 & 2 2 & 2 & 0 ) do sistema:
Essa matriz vem dos coeficientes das variáveis , e nas equações do sistema.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , que é essencial para a Regra de Cramer. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
det(A) = 1 cdot ((-1) cdot 0 - 2 cdot 2) - 1 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 2) + 1 cdot (0 cdot 2 - (-1) cdot 2)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (0 - 4) - 1 cdot (0 - 4) + 1 cdot (0 + 2)
det(A) = -4 + 4 + 2 = 2
Então, o determinante de é 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as matrizes 0 0 1 , A1 = 0 & 1 & 1 0 & -1 & 2 1 & 2 & 0 e substituindo, respectivamente, as colunas de , e pelo vetor dos termos constantes do sistema.
O vetor dos termos constantes é .
Primeiro, (substituindo a primeira coluna):

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(A1) = 0 cdot ((-1) cdot 0 - 2 cdot 2) - 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 2) + 1 cdot (0 cdot 2 - (-1) cdot 1) :
det(A1) = 0 cdot (0 - 4) - 1 cdot (0 - 2) + 1 cdot (0 + 1)
det(A1) = 0 + 2 + 1 = 3

Passo 6

Agora, vamos formar A2 = 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 2 & 1 & 0 substituindo a segunda coluna:
det(A2) = 1 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 1) - 0 cdot (0 cdot 0 - 2 cdot 2) + 1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 2)
Calculando o determinante de det(A2) = 1 cdot (0 - 2) - 0 cdot (0 - 4) + 1 cdot (0 - 0) :
det(A2) = -2 + 0 + 0 = -2

Passo 7

Por fim, vamos formar A3 = 1 & 1 & 0 0 & -1 & 0 2 & 2 & 1 substituindo a terceira coluna:
det(A3) = 1 cdot ((-1) cdot 1 - 0 cdot 2) - 1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 2) + 0 cdot (0 cdot 2 - (-1) cdot 2)
Calculando o determinante de det(A3) = 1 cdot (-1 - 0) - 1 cdot (0 - 0) + 0 cdot (0 + 2) :
det(A3) = -1 + 0 + 0 = -1

Passo 8

Agora que temos todos os determinantes, vamos aplicar a Regra de Cramer para encontrar os valores de x1 = det(A1)det(A) = 32 , x2 = det(A2)det(A) = -22 = -1 e x3 = det(A3)det(A) = -12 :

Resposta

Portanto, as soluções são:
x1 = 32, x2 = -1, x3 = -12

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Achar a matriz aumentada de cada um dos sistemas e resolvê-lo:
© lx1+x3=1 2 x2-x3+x5 2 x3+x4=3
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(a) [ccc:c1 & 0 & -1 & 2 2 & 1 & 1 & 3 0 & 1 & 2 & 4] Resp.: x=-3, y=14, z=-5
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