Mostre que se
é uma matriz invertível e se
, então
. (sugestão: multiplique a equação
por
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que temos duas matrizes,
e
, onde
é invertível (ou seja, existe uma matriz
tal que
, sendo
a matriz identidade). Além disso, sabemos que
e
comutam, ou seja,
. Nosso objetivo é mostrar que
. Para isso, vamos usar propriedades de matrizes invertíveis e comutatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar a equação que sabemos:
. Como
é invertível, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por
. Mas onde multiplicar? Vamos escolher multiplicar pela direita, ou seja, multiplicar tudo por
à direita.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 4
Simplificando a esquerda da equação:
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade
permanece igual, temos:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
novamente, mas desta vez pela esquerda:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Simplificando a direita da equação:
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece igual:
Resposta
Assim, mostramos que
.