Mostre que se B é uma matriz invertível e se A cdot B=B cdot A, então A cdot B^-1=B^-1 cdot A. (sugestão: multiplique a equação A cdot B=B cdot A por B^-1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que temos duas matrizes, e , onde é invertível (ou seja, existe uma matriz tal que , sendo a matriz identidade). Além disso, sabemos que e comutam, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar propriedades de matrizes invertíveis e comutatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a equação que sabemos: . Como é invertível, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por . Mas onde multiplicar? Vamos escolher multiplicar pela direita, ou seja, multiplicar tudo por à direita.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por A cdot B cdot B^-1 = B cdot A cdot B^-1 , temos:
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 4

Simplificando a esquerda da equação:
A cdot I = B cdot A cdot B^-1
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade A = B cdot A cdot B^-1 permanece igual, temos:

Passo 5

Agora, queremos isolar B^-1 cdot A = B^-1 cdot B cdot A cdot B^-1 . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por novamente, mas desta vez pela esquerda:
Sabemos que , então:

Passo 6

Simplificando a direita da equação:
B^-1 cdot A = I cdot A cdot B^-1
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece igual:
B^-1 cdot A = A cdot B^-1

Resposta

Assim, mostramos que .

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