Mostre que se é uma matriz invertível e se , então . (sugestão: multiplique a equação por )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que temos duas matrizes, e , onde é invertível (ou seja, existe uma matriz tal que , sendo a matriz identidade). Além disso, sabemos que e comutam, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar propriedades de matrizes invertíveis e comutatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a equação que sabemos: . Como é invertível, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por . Mas onde multiplicar? Vamos escolher multiplicar pela direita, ou seja, multiplicar tudo por à direita.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 4

Simplificando a esquerda da equação:
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece igual, temos:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por novamente, mas desta vez pela esquerda:
Sabemos que , então:

Passo 6

Simplificando a direita da equação:
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece igual:

Resposta

Assim, mostramos que .

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Uma matriz quadrada diz-se nilpotente se existe tal que , e o menor número natural tal que é chamado de índice de nilpotência de . Mostre que é nilpotente de índice 3. Onde .
Considere as matrizes: .
(b) Diga quais dos produtos seguintes não estão definidos: B.C, A.C, , e determine os que estão definidos.
Determine, caso exista, a inversa das seguintes matrizes:
(a)
Determine o vetor que tenha origem no ponto e extremidade no ponto e calcule seu módulo e cossenos diretores. Resp: .