Mostre que se é uma matriz invertível e se , então . (sugestão: multiplique a equação por )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que temos duas matrizes, e , onde é invertível (ou seja, existe uma matriz tal que , sendo a matriz identidade). Além disso, sabemos que e comutam, ou seja, . Nosso objetivo é mostrar que . Para isso, vamos usar propriedades de matrizes invertíveis e comutatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar a equação que sabemos: . Como é invertível, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por . Mas onde multiplicar? Vamos escolher multiplicar pela direita, ou seja, multiplicar tudo por à direita.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Sabemos que , então simplificamos:
Passo 4
Simplificando a esquerda da equação:
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece igual, temos:
Passo 5
Agora, queremos isolar . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por novamente, mas desta vez pela esquerda:
Sabemos que , então:
Passo 6
Simplificando a direita da equação:
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece igual: