Se
é uma matriz quadrada de ordem
e é involutória, justifique porque a matriz
é idempotente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de ordem
que é involutória. Nosso objetivo é mostrar por que a matriz
é idempotente. Vamos precisar entender o que são matrizes involutórias e idempotentes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser involutória. Uma matriz
é chamada de involutória se ela ao ser multiplicada por ela mesma resulta na matriz identidade. Ou seja:
Isso significa que
é o inverso de si mesma.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma matriz idempotente. Uma matriz
é idempotente se, ao ser multiplicada por ela mesma, o resultado é ela mesma. Em fórmula:
Nosso objetivo é provar que
satisfaz essa condição.
Passo 4
Vamos calcular
. Primeiro, escrevemos
explicitamente:
Agora, multiplicamos
por ele mesmo:
Passo 5
Vamos expandir a multiplicação:
Sabemos que
é a identidade, então:
E, como
é involutória:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Perceba que o resultado que obtivemos para
é:
Isso mostra que
, ou seja,
é idempotente.
Resposta
A matriz
é idempotente porque, ao ser multiplicada por si mesma, resulta na própria matriz
.