Se A é uma matriz quadrada de ordem N e é involutória, justifique porque a matriz B=12(IN+A) é idempotente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada de ordem que é involutória. Nosso objetivo é mostrar por que a matriz é idempotente. Vamos precisar entender o que são matrizes involutórias e idempotentes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser involutória. Uma matriz A^2 = IN é chamada de involutória se ela ao ser multiplicada por ela mesma resulta na matriz identidade. Ou seja:
Isso significa que é o inverso de si mesma.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma matriz idempotente. Uma matriz B^2 = B é idempotente se, ao ser multiplicada por ela mesma, o resultado é ela mesma. Em fórmula:
Nosso objetivo é provar que satisfaz essa condição.

Passo 4

Vamos calcular B = 12(IN + A) . Primeiro, escrevemos B^2 = (12(IN + A))(12(IN + A)) = 14(IN + A)(IN + A) explicitamente:
Agora, multiplicamos por ele mesmo:

Passo 5

Vamos expandir a multiplicação:
14(IN cdot IN + IN cdot A + A cdot IN + A cdot A)
Sabemos que IN cdot IN = IN, IN cdot A = A, A cdot IN = A é a identidade, então:
A cdot A = A^2 = IN
E, como 14(IN + A + A + IN) = 14(2IN + 2A) = 12(IN + A) é involutória:
Substituindo na expressão:

Passo 6

Perceba que o resultado que obtivemos para B^2 = 12(IN + A) = B é:
Isso mostra que , ou seja, é idempotente.

Resposta

A matriz é idempotente porque, ao ser multiplicada por si mesma, resulta na própria matriz .

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