Mostre que o conjunto
é uma base do
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto
é uma base do
. Isso envolve entender o que é uma base e quais propriedades os vetores precisam ter para serem uma base. Basicamente, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa serem linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
e
.
Vamos montar essa equação:
Isso dá duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Como a única solução é
, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses vetores geram todo o espaço
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores dados.
Vamos considerar um vetor qualquer
em
e tentar encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para
e
. Somando as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Como encontramos valores para
e
para qualquer
, os vetores
geram todo o espaço
.
Resposta
Portanto, como os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço
, concluímos que o conjunto
é uma base do
.