Mostre que o conjunto (1,1),(1,-1) é uma base do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto (1,1), (1,-1) é uma base do R^2. Isso envolve entender o que é uma base e quais propriedades os vetores precisam ter para serem uma base. Basicamente, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa serem linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a(1,1) + b(1,-1) = (0,0) implica que a = 0 e b = 0.
Vamos montar essa equação:
a(1,1) + b(1,-1) = (0,0)
Isso dá duas equações:
a + b = 0 a - b = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Somando as duas equações:
(a + b) + (a - b) = 0 + 0 2a = 0 a = 0
Substituindo a = 0 na primeira equação:
0 + b = 0 b = 0
Como a única solução é a = b = 0, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses vetores geram todo o espaço R^2. Isso significa que qualquer vetor em R^2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores dados.
Vamos considerar um vetor qualquer (x, y) em R^2 e tentar encontrar escalares a e b tais que:
a(1,1) + b(1,-1) = (x,y)
Isso nos dá o sistema:
a + b = x a - b = y

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para a e b. Somando as duas equações:
(a + b) + (a - b) = x + y 2a = x + y a = x + y2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a + b) - (a - b) = x - y 2b = x - y b = x - y2
Como encontramos valores para a e b para qualquer (x, y), os vetores (1,1), (1,-1) geram todo o espaço R^2.

Resposta

Portanto, como os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço R^2, concluímos que o conjunto (1,1), (1,-1) é uma base do R^2.

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