Uma matriz quadrada
será dita nilpotente se existir um número natural
tal que
. E o menor número natural
tal que
será chamado de ordem de nilpotência de
. Determine todas as matrizes nilpotentes de ordem 2 com ordem de nilpotência 2 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes quadradas 2x2 que são nilpotentes de ordem 2. Isso significa que, ao elevarmos a matriz ao quadrado, ela vira a matriz zero, mas não antes disso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz nilpotente e como aplicar isso especificamente para matrizes 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz nilpotente. Uma matriz
é chamada de nilpotente se existe um número natural
tal que
, onde
é a matriz nula (todos os elementos são zero). O menor número
que satisfaz essa condição é chamado de ordem de nilpotência de
.
Passo 3
No nosso caso, estamos trabalhando com matrizes 2x2 e queremos encontrar aquelas que são nilpotentes de ordem 2. Ou seja, precisamos que
, mas
não pode ser a matriz zero desde o início.
Passo 4
Vamos considerar uma matriz geral 2x2:
Para que
seja nilpotente de ordem 2, precisamos que
. Vamos calcular
:
Para que
, cada elemento dessa matriz resultante deve ser zero:
Passo 5
Vamos simplificar essas equações. Observamos que
não é a matriz zero, então pelo menos uma das entradas
é diferente de zero.
Das equações 2 e 3, podemos fatorar:
Isso sugere que ou
e
, ou
. Vamos analisar essas duas possibilidades.
Passo 6
Caso 1:
Isso implica que
. Substituindo na equação 1:
E na equação 4:
Observamos que ambas as equações são iguais, então temos apenas uma condição:
.
Caso 2:
e
Se
e
, então as equações 1 e 4 se tornam:
Isso implica que
e
, ou seja,
seria a matriz zero, o que não queremos. Portanto, apenas o Caso 1 é válido.
Passo 7
No Caso 1, temos que
e
. Assim, a matriz
fica:
Com a condição
. Essa é a forma geral de todas as matrizes 2x2 nilpotentes de ordem 2.
Resposta
Todas as matrizes 2×2 nilpotentes de ordem 2 são da forma
com
números reais satisfazendo
.