Uma matriz quadrada A será dita nilpotente se existir um número natural n tal que A^n=0. E o menor número natural n tal que A^n=0 será chamado de ordem de nilpotência de A. Determine todas as matrizes nilpotentes de ordem 2 com ordem de nilpotência 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todas as matrizes quadradas 2x2 que são nilpotentes de ordem 2. Isso significa que, ao elevarmos a matriz ao quadrado, ela vira a matriz zero, mas não antes disso. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz nilpotente e como aplicar isso especificamente para matrizes 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz nilpotente. Uma matriz é chamada de nilpotente se existe um número natural tal que , onde é a matriz nula (todos os elementos são zero). O menor número que satisfaz essa condição é chamado de ordem de nilpotência de .

Passo 3

No nosso caso, estamos trabalhando com matrizes 2x2 e queremos encontrar aquelas que são nilpotentes de ordem 2. Ou seja, precisamos que , mas não pode ser a matriz zero desde o início.

Passo 4

Vamos considerar uma matriz geral 2x2:
A = a & b c & d
Para que A^2 = A cdot A = a & b c & d a & b c & d = a^2 + b c & a b + b d c a + d c & c b + d^2 seja nilpotente de ordem 2, precisamos que . Vamos calcular :
Para que , cada elemento dessa matriz resultante deve ser zero:

Passo 5

Vamos simplificar essas equações. Observamos que não é a matriz zero, então pelo menos uma das entradas é diferente de zero.
Das equações 2 e 3, podemos fatorar:
Isso sugere que ou e , ou . Vamos analisar essas duas possibilidades.

Passo 6

Caso 1: a^2 + b c = 0
Isso implica que c b + (-a)^2 = 0 Rightarrow c b + a^2 = 0 . Substituindo na equação 1:
a^2 = 0 e d^2 = 0
E na equação 4:
Observamos que ambas as equações são iguais, então temos apenas uma condição: .
Caso 2: e
Se e , então as equações 1 e 4 se tornam:
Isso implica que e , ou seja, seria a matriz zero, o que não queremos. Portanto, apenas o Caso 1 é válido.

Passo 7

No Caso 1, temos que A = a & b c & -a e . Assim, a matriz fica:
Com a condição . Essa é a forma geral de todas as matrizes 2x2 nilpotentes de ordem 2.

Resposta

Todas as matrizes 2×2 nilpotentes de ordem 2 são da forma
A = a & b c & -a
com números reais satisfazendo .

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