Mostre que se B é uma matriz quadrada, então:
(a) B+B^t e B B^t são simétricas;
(b) B-B^t é antissimétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que, se B é uma matriz quadrada, então:
(a) B + B^t e B B^t são simétricas;
(b) B - B^t é antissimétrica.
Vamos usar conceitos de matrizes simétricas e antissimétricas e trabalhar passo a passo pra provar essas afirmações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica.
  • Matriz Simétrica: Uma matriz A é simétrica se A = A^t, ou seja, ela é igual à sua transposta.
  • Matriz Antissimétrica: Uma matriz A é antissimétrica se A = -A^t, ou seja, a transposta é o negativo da matriz original.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): mostrar que B + B^t e B B^t são simétricas.
Primeiro, vamos verificar se B + B^t é simétrica.
Calculemos a transposta de B + B^t:
(B + B^t)^t = B^t + (B^t)^t = B^t + B = B + B^t
Como (B + B^t)^t = B + B^t, isso mostra que B + B^t é simétrica.

Passo 4

Ainda na parte (a), agora vamos mostrar que B B^t é simétrica.
Calculemos a transposta de B B^t:
(B B^t)^t = (B^t)^t B^t = B B^t
Mais uma vez, temos (B B^t)^t = B B^t, o que confirma que B B^t é simétrica.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): mostrar que B - B^t é antissimétrica.
Calculemos a transposta de B - B^t:
(B - B^t)^t = B^t - (B^t)^t = B^t - B = -(B - B^t)
Aqui, vimos que (B - B^t)^t = -(B - B^t), o que significa que B - B^t é antissimétrica.

Resposta

Assim, mostramos que:
(a) B + B^t e B B^t são simétricas;
(b) B - B^t é antissimétrica.

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