Mostre que se
é uma matriz quadrada, então:
(a)
e
são simétricas;
(b)
é antissimétrica.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que, se
é uma matriz quadrada, então:
(a)
e
são simétricas;
(b)
é antissimétrica.
Vamos usar conceitos de matrizes simétricas e antissimétricas e trabalhar passo a passo pra provar essas afirmações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica.
-
Matriz Simétrica: Uma matriz
é simétrica se , ou seja, ela é igual à sua transposta. -
Matriz Antissimétrica: Uma matriz
é antissimétrica se , ou seja, a transposta é o negativo da matriz original.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a): mostrar que
e
são simétricas.
Primeiro, vamos verificar se
é simétrica.
Calculemos a transposta de
:
Como
, isso mostra que
é simétrica.
Passo 4
Ainda na parte (a), agora vamos mostrar que
é simétrica.
Calculemos a transposta de
:
Mais uma vez, temos
, o que confirma que
é simétrica.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): mostrar que
é antissimétrica.
Calculemos a transposta de
:
Aqui, vimos que
, o que significa que
é antissimétrica.
Resposta
Assim, mostramos que:
(a)
e
são simétricas;
(b)
é antissimétrica.
Exercícios relacionados
(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos trés números complexos:
Mostre que uma matriz
é inversível se, e somente se,
é inversível. Conclua que as operações de inversão e transposição comutam, isto é,
, quando
é inversível.