Mostre que se é uma matriz quadrada, então:
(a) e são simétricas;
(b) é antissimétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que, se é uma matriz quadrada, então:
(a) e são simétricas;
(b) é antissimétrica.
Vamos usar conceitos de matrizes simétricas e antissimétricas e trabalhar passo a passo pra provar essas afirmações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica.
  • Matriz Simétrica: Uma matriz é simétrica se , ou seja, ela é igual à sua transposta.
  • Matriz Antissimétrica: Uma matriz é antissimétrica se , ou seja, a transposta é o negativo da matriz original.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): mostrar que e são simétricas.
Primeiro, vamos verificar se é simétrica.
Calculemos a transposta de :
Como , isso mostra que é simétrica.

Passo 4

Ainda na parte (a), agora vamos mostrar que é simétrica.
Calculemos a transposta de :
Mais uma vez, temos , o que confirma que é simétrica.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): mostrar que é antissimétrica.
Calculemos a transposta de :
Aqui, vimos que , o que significa que é antissimétrica.

Resposta

Assim, mostramos que:
(a) e são simétricas;
(b) é antissimétrica.

Exercícios relacionados

(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos trés números complexos:
Mostre que uma matriz é inversível se, e somente se, é inversível. Conclua que as operações de inversão e transposição comutam, isto é, , quando é inversível.