Mostre que uma matriz
é inversível se, e somente se,
é inversível. Conclua que as operações de inversão e transposição comutam, isto é,
, quando
é inversível.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear que trata de matrizes invertíveis e suas transpostas. Precisamos mostrar que uma matriz
é inversível se, e somente se, a sua transposta
também é inversível. Além disso, vamos concluir que as operações de inversão e transposição comutam, ou seja,
, quando
é inversível. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e as propriedades das operações de transposição e inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. A matriz
é chamada de inversa de
e denotamos por
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transposta da matriz
, que é
. A transposição de uma matriz troca suas linhas por colunas. Queremos ver se
também é inversível quando
é inversível.
Passo 4
Vamos assumir que
é inversível. Isso significa que existe
tal que
. Vamos analisar a transposta dessa equação. Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, ou seja,
.
Passo 5
Aplicando a transposta na equação
, temos:
Que se torna:
De forma semelhante, transpondo
, obtemos:
Isso mostra que
é a inversa de
, ou seja,
é inversível e
.
Passo 6
Agora, precisamos mostrar a outra direção: se
é inversível, então
também é inversível. Mas como a transposição é uma operação que pode ser revertida (a transposta da transposta é a matriz original), se
tem uma inversa, podemos transpor essa inversa para obter a inversa de
.
Passo 7
Especificamente, se
é inversível, existe
tal que:
Tomando a transposta de ambos os lados:
O que resulta em:
Isso mostra que
é a inversa de
, ou seja,
é inversível e
.
Resposta
Concluímos que uma matriz
é inversível se, e somente se, sua transposta
também é inversível. Além disso, as operações de inversão e transposição comutam, ou seja,
quando
é inversível.