Mostre que uma matriz é inversível se, e somente se, é inversível. Conclua que as operações de inversão e transposição comutam, isto é, , quando é inversível.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear que trata de matrizes invertíveis e suas transpostas. Precisamos mostrar que uma matriz é inversível se, e somente se, a sua transposta também é inversível. Além disso, vamos concluir que as operações de inversão e transposição comutam, ou seja, , quando é inversível. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e as propriedades das operações de transposição e inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A matriz é chamada de inversa de e denotamos por .
Passo 3
Agora, vamos considerar a transposta da matriz , que é . A transposição de uma matriz troca suas linhas por colunas. Queremos ver se também é inversível quando é inversível.
Passo 4
Vamos assumir que é inversível. Isso significa que existe tal que . Vamos analisar a transposta dessa equação. Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, ou seja, .
Passo 5
Aplicando a transposta na equação , temos:
Que se torna:
De forma semelhante, transpondo , obtemos:
Isso mostra que é a inversa de , ou seja, é inversível e .
Passo 6
Agora, precisamos mostrar a outra direção: se é inversível, então também é inversível. Mas como a transposição é uma operação que pode ser revertida (a transposta da transposta é a matriz original), se tem uma inversa, podemos transpor essa inversa para obter a inversa de .
Passo 7
Especificamente, se é inversível, existe tal que:
Tomando a transposta de ambos os lados:
O que resulta em:
Isso mostra que é a inversa de , ou seja, é inversível e .
Resposta
Concluímos que uma matriz é inversível se, e somente se, sua transposta também é inversível. Além disso, as operações de inversão e transposição comutam, ou seja, quando é inversível.