Mostre que uma matriz A é inversível se, e somente se, A^t é inversível. Conclua que as operações de inversão e transposição comutam, isto é, (A^t)^-1=(A^-1)^t, quando A é inversível.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que trata de matrizes invertíveis e suas transpostas. Precisamos mostrar que uma matriz é inversível se, e somente se, a sua transposta também é inversível. Além disso, vamos concluir que as operações de inversão e transposição comutam, ou seja, , quando é inversível. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser inversível e as propriedades das operações de transposição e inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade. A matriz é chamada de inversa de e denotamos por .

Passo 3

Agora, vamos considerar a transposta da matriz , que é . A transposição de uma matriz troca suas linhas por colunas. Queremos ver se também é inversível quando é inversível.

Passo 4

Vamos assumir que é inversível. Isso significa que existe tal que . Vamos analisar a transposta dessa equação. Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa, ou seja, .

Passo 5

Aplicando a transposta na equação (AA^-1)^t = I^t , temos:
(A^-1)^tA^t = I
Que se torna:
A^t(A^-1)^t = I
De forma semelhante, transpondo , obtemos:
Isso mostra que é a inversa de , ou seja, é inversível e .

Passo 6

Agora, precisamos mostrar a outra direção: se é inversível, então também é inversível. Mas como a transposição é uma operação que pode ser revertida (a transposta da transposta é a matriz original), se tem uma inversa, podemos transpor essa inversa para obter a inversa de .

Passo 7

Especificamente, se A^t(A^t)^-1 = (A^t)^-1A^t = I é inversível, existe (A^t(A^t)^-1)^t = I^t tal que:
((A^t)^-1)^tA = I
Tomando a transposta de ambos os lados:
O que resulta em:
Isso mostra que é a inversa de , ou seja, é inversível e .

Resposta

Concluímos que uma matriz é inversível se, e somente se, sua transposta também é inversível. Além disso, as operações de inversão e transposição comutam, ou seja, quando é inversível.

Exercícios relacionados