Sejam A e C matrizes n times n inversíveis tais que det(In+C^-1 A)=1 / 3 e det(A)=5. Sabendo-se que B=3(A^-1+C^-1)^T, então o determinante de B é igual a:
a. 3^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem , ambas inversíveis. Sabemos que o determinante de é e que o determinante de é . Precisamos encontrar o determinante da matriz .
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes, especialmente as que envolvem operações com matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Vamos começar encontrando o determinante de det(B) = det(3(A^-1 + C^-1)^T) :
det((A^-1 + C^-1)^T) = det(A^-1 + C^-1)
Primeiro, lembramos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
det(B) = 3^n cdot det(A^-1 + C^-1)
Então, podemos simplificar:
Aqui, usamos a propriedade de que para uma matriz de ordem e escalar .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar A^-1 + C^-1 = A^-1(In + A C^-1) . Podemos fatorar det(A^-1 + C^-1) = det(A^-1) cdot det(In + A C^-1) :
Assim, o determinante fica:
Sabemos que .

Passo 4

Também nos foi dado que det(In + A C^-1) = 13 . Observamos que , pois e têm os mesmos autovalores e, portanto, o mesmo determinante.
Então:

Passo 5

Substituindo os valores encontrados na expressão do determinante de det(A^-1 + C^-1) = 15 cdot 13 = 115 :

Passo 6

Agora, voltamos ao determinante de det(B) = 3^n cdot 115 = 3^n15 :
det(B) = 3^n-15
Podemos simplificar isso para:

Resposta

O determinante de é igual a .

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