Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
a.
a.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
, ambas inversíveis. Sabemos que o determinante de
é
e que o determinante de
é
. Precisamos encontrar o determinante da matriz
.
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes, especialmente as que envolvem operações com matrizes inversas e transpostas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o determinante de
:
Primeiro, lembramos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
Então, podemos simplificar:
Aqui, usamos a propriedade de que
para uma matriz
de ordem
e escalar
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Podemos fatorar
:
Assim, o determinante fica:
Sabemos que
.
Passo 4
Também nos foi dado que
. Observamos que
, pois
e
têm os mesmos autovalores e, portanto, o mesmo determinante.
Então:
Passo 5
Substituindo os valores encontrados na expressão do determinante de
:
Passo 6
Agora, voltamos ao determinante de
:
Podemos simplificar isso para:
Resposta
O determinante de
é igual a
.