Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
a.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem , ambas inversíveis. Sabemos que o determinante de é e que o determinante de é . Precisamos encontrar o determinante da matriz .
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de determinantes, especialmente as que envolvem operações com matrizes inversas e transpostas.
Passo 2
Vamos começar encontrando o determinante de :
Primeiro, lembramos que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original:
Então, podemos simplificar:
Aqui, usamos a propriedade de que para uma matriz de ordem e escalar .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar . Podemos fatorar :
Assim, o determinante fica:
Sabemos que .
Passo 4
Também nos foi dado que . Observamos que , pois e têm os mesmos autovalores e, portanto, o mesmo determinante.
Então:
Passo 5
Substituindo os valores encontrados na expressão do determinante de :