Todas as entradas de uma matriz simétrica são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes simétricas e como elas são determinadas. Basicamente, uma matriz simétrica é aquela que é igual à sua transposta. O que isso significa? Bem, para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica, o que é a diagonal principal e como os elementos acima dela influenciam toda a matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se , ou seja, ela é igual à sua transposta. A transposta de uma matriz é feita trocando-se as linhas pelas colunas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a diagonal principal. Em uma matriz quadrada, a diagonal principal vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito. Por exemplo, numa matriz :
A diagonal principal são os elementos , e .
Passo 4
O enunciado diz que todas as entradas da matriz simétrica são determinadas pelas entradas na diagonal principal e acima dela. Isso significa que, se conhecemos os elementos na diagonal e os elementos acima dela (como e ), podemos saber todos os outros elementos.
Passo 5
Por quê? Porque, como a matriz é simétrica, os elementos abaixo da diagonal são iguais aos elementos acima. Ou seja, , , e assim por diante. Então, uma vez que conhecemos os elementos na diagonal e acima dela, já temos todos os elementos da matriz.
Passo 6
Vamos ver um exemplo para ficar mais claro. Considere uma matriz simétrica :
Como é simétrica, temos . Portanto, se conhecemos , e , já sabemos todos os elementos da matriz.
Passo 7
Expandindo para uma matriz , se conhecemos , , , , e , então:
Assim, todas as entradas são determinadas.
Resposta
Então, concluímos que todas as entradas de uma matriz simétrica são de fato determinadas pelas entradas na diagonal principal e pelas entradas acima dela, já que as abaixo são iguais às acima devido à simetria.