Resolva os sistemas lineares pelo método da eliminação Gaussiana:
l 2 x-3 y+z=1 x+y-z=3 3 x-2 y+3 z=7

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas ( x, y, z). Vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação Gaussiana, que nos ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada para facilitar a aplicação da eliminação Gaussiana:
2 & -3 & 1 & | & 1 1 & 1 & -1 & | & 3 3 & -2 & 3 & | & 7

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, ou seja, conseguir ter zeros abaixo da diagonal principal.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o x das outras linhas.

Passo 4

Para eliminar o x da segunda linha, podemos trocar a segunda linha pela segunda linha menos metade da primeira linha:
R2 = R2 - 12R1
Calculando:
1 - 12(2) = 0 1 - 12(-3) = 1 + 32 = 52 -1 - 12(1) = -1 - 12 = -32 3 - 12(1) = 52
Agora, a matriz fica:
2 & -3 & 1 & | & 1 0 & 52 & -32 & | & 52 3 & -2 & 3 & | & 7

Passo 5

Agora, vamos eliminar o x da terceira linha usando a primeira linha. Para isso, fazemos:
R3 = R3 - 32R1
Calculando:
3 - 32(2) = 3 - 3 = 0 -2 - 32(-3) = -2 + 92 = 52 3 - 32(1) = 3 - 32 = 32 7 - 32(1) = 7 - 32 = 112
Agora, a matriz fica:
2 & -3 & 1 & | & 1 0 & 52 & -32 & | & 52 0 & 52 & 32 & | & 112

Passo 6

Vamos agora eliminar o y da terceira linha usando a segunda linha. Primeiro, notamos que as duas linhas têm o mesmo coeficiente para y ( 52). Assim, podemos subtrair a segunda linha da terceira:
R3 = R3 - R2
Calculando:
0 - 0 = 0 52 - 52 = 0 32 - (-32) = 3 112 - 52 = 3
Agora, a matriz fica:
2 & -3 & 1 & | & 1 0 & 52 & -32 & | & 52 0 & 0 & 3 & | & 3

Passo 7

Agora que temos a matriz em forma triangular, podemos resolver de baixo para cima.
Começamos pela terceira linha:
3z = 3 Rightarrow z = 1

Passo 8

Com o valor de z encontrado, vamos para a segunda linha:
52y - 32z = 52 Rightarrow 52y - 32(1) = 52 Rightarrow 52y - 32 = 52 Rightarrow 52y = 52 + 32 = 4 Rightarrow y = 452 = 85 Rightarrow y = 85

Passo 9

Agora, usamos os valores de y e z na primeira linha para encontrar x:
2x - 3y + z = 1 Rightarrow 2x - 3(85) + 1 = 1 Rightarrow 2x - 245 + 1 = 1 Rightarrow 2x - 195 = 1 Rightarrow 2x = 1 + 195 = 245 Rightarrow x = 245 div 2 = 125 Rightarrow x = 125

Resposta

A solução do sistema é:
x = 125, y = 85, z = 1

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