Seja v=(-1,2,5) e w=(1 / 2,1,-1). Determine o vetor unitário u, tal que u seja ortogonal a v e u seja ortogonal também a w.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, v=(-1,2,5) e w=(12,1,-1). Precisamos encontrar um vetor unitário u que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) a ambos v e w. Para isso, vamos usar o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de v e w, representado por v times w, nos dá um novo vetor que é perpendicular a ambos.
A fórmula do produto vetorial é:
v times w = ( vy wz - vz wy, vz wx - vx wz, vx wy - vy wx )

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial passo a passo usando os componentes de v e w:
v times w = ( 2 cdot (-1) - 5 cdot 1, 5 cdot 12 - (-1) cdot (-1), (-1) cdot 1 - 2 cdot 12 )
Simplificando cada componente:
v times w = ( -2 - 5, 52 - 1, -1 - 1 ) = ( -7, 32, -2 )

Passo 4

Agora que temos o vetor v times w = ( -7, 32, -2 ), precisamos transformá-lo em um vetor unitário. Um vetor unitário tem magnitude igual a 1.
Para isso, vamos calcular a magnitude de v times w:
| v times w | = raiz(-7)^2 + (32)^2 + (-2)^2 = raiz49 + 94 + 4 = raiz1964 + 94 + 164 = raiz2214 = raiz2212

Passo 5

Finalmente, para encontrar o vetor unitário u, dividimos cada componente de v times w pela sua magnitude:
u = v times w| v times w | = ( -7raiz2212, 32raiz2212, -2raiz2212 ) = ( -14raiz221, 3raiz221, -4raiz221 )

Resposta

O vetor unitário u é dado por:
u = ( -14raiz221, 3raiz221, -4raiz221 )

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