Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um subespaço gerado por três vetores em . A tarefa é encontrar um vetor não nulo que esteja no complemento ortogonal de . Depois, precisamos calcular a razão entre a terceira e a quarta componente desse vetor (). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e complementos ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores que são ortogonais a cada vetor que gera . Ou seja, nosso vetor deve satisfazer que o produto escalar de com cada um dos três vetores geradores de seja zero.
Passo 3
Vamos escrever isso matematicamente. Sejam os vetores que geram v1 = 1 1 1 -2 , v2 = -3 -2 -2 5 , v3 = 1 0 2 1 :
x1 x2 x3 x4
Queremos que x cdot v1 = 0 x cdot v2 = 0 x cdot v3 = 0 esteja em 1x1 + 1x2 + 1x3 - 2x4 = 0 -3x1 - 2x2 - 2x3 + 5x4 = 0 1x1 + 0x2 + 2x3 + 1x4 = 0 , então:
Isso nos dá um sistema de três equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre as componentes de x1 + 2x3 + x4 = 0 Rightarrow x1 = -2x3 - x4 .