Seja
H=span[r 1 1 1 -2 ],[r -3 -2 -2 5 ],[l 1 0 2 1 ]
Encontre um vetor x in H^perp, com x neq 0. Calcule x3 / x4 :
(A) 1
(B) -1
© 0
(D) -2
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um subespaço gerado por três vetores em . A tarefa é encontrar um vetor não nulo que esteja no complemento ortogonal de . Depois, precisamos calcular a razão entre a terceira e a quarta componente desse vetor ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e complementos ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores que são ortogonais a cada vetor que gera . Ou seja, nosso vetor deve satisfazer que o produto escalar de com cada um dos três vetores geradores de seja zero.

Passo 3

Vamos escrever isso matematicamente. Sejam os vetores que geram v1 = 1 1 1 -2 , v2 = -3 -2 -2 5 , v3 = 1 0 2 1 :
x1 x2 x3 x4
Queremos que x cdot v1 = 0 x cdot v2 = 0 x cdot v3 = 0 esteja em 1x1 + 1x2 + 1x3 - 2x4 = 0 -3x1 - 2x2 - 2x3 + 5x4 = 0 1x1 + 0x2 + 2x3 + 1x4 = 0 , então:
Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre as componentes de x1 + 2x3 + x4 = 0 Rightarrow x1 = -2x3 - x4 .
Começando pela terceira equação:
(-2x3 - x4) + x2 + x3 - 2x4 = 0 -2x3 - x4 + x2 + x3 - 2x4 = 0 x2 - x3 - 3x4 = 0 Rightarrow x2 = x3 + 3x4
Substituindo -3(-2x3 - x4) - 2(x3 + 3x4) - 2x3 + 5x4 = 0 6x3 + 3x4 - 2x3 - 6x4 - 2x3 + 5x4 = 0 (6x3 - 2x3 - 2x3) + (3x4 - 6x4 + 5x4) = 0 2x3 + 2x4 = 0 Rightarrow x3 = -x4 na primeira equação:
Agora, substituímos e na segunda equação:

Passo 5

Com x1 = -2(-x4) - x4 = 2x4 - x4 = x4 x2 = (-x4) + 3x4 = 2x4 x3 = -x4 x4 = x4 , podemos expressar todas as componentes em termos de x = x4 2x4 -x4 x4 = x4 1 2 -1 1 :
x3 = -x4 Rightarrow x3x4 = -x4x4 = -1
Então, o vetor pode ser escrito como:
Como estamos procurando um vetor não nulo, pode ser qualquer número real diferente de zero. Agora, vamos calcular :

Resposta

A razão é igual a -1. Portanto, a resposta correta é a letra (B).

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(A) -12
(B) -11
© -13
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(A) -9
(B) -8
© 1
(D) 0
(E) Não sei
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(A) 3
(B) 2
© 1
(D) 0
(E) Não sei
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[ll4 & 1 8 & 2]