Seja T: R^2 R^3 a transformação linear que satisfaz: T(1,-2)=(0,1,3) е T(-2,5)=(1,-3,-7).
Determine (a, b, c)=T(-5,11). Assinale o valor de a.
(A) 3
(B) 2
© 1
(D) 0
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores do plano para o espaço . Sabemos que:
Queremos descobrir qual é a imagem do vetor pela transformação , ou seja, encontrar . Nosso foco aqui é descobrir o valor de .
Para resolver isso, vamos usar propriedades das transformações lineares e montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar .

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Vamos supor que A = a11 & a12 a21 & a22 a31 & a32 seja dada por uma matriz T(x, y) = A x y = a11x + a12y a21x + a22y a31x + a32y de tamanho :
Então, a transformação aplicada a um vetor é:

Passo 3

Agora, vamos usar as informações que o exercício nos deu para montar equações. Sabemos que:
T(1, -2) = (0, 1, 3)
Isso nos dá:
a11(1) + a12(-2) = 0 a21(1) + a22(-2) = 1 a31(1) + a32(-2) = 3
E também:
T(-2, 5) = (1, -3, -7)
Que resulta em:
a11(-2) + a12(5) = 1 a21(-2) + a22(5) = -3 a31(-2) + a32(5) = -7

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar os elementos da matriz a11 - 2a12 = 0 -2a11 + 5a12 = 1 .
Primeiro, para a primeira linha:
a11 = 2a12
Da primeira equação, podemos isolar -2(2a12) + 5a12 = 1 -4a12 + 5a12 = 1 a12 = 1 :
a11 = 2(1) = 2
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 5

Vamos agora para a segunda linha das transformações:
a21 - 2a22 = 1 -2a21 + 5a22 = -3
Isolando a21 = 1 + 2a22 na primeira equação:
-2(1 + 2a22) + 5a22 = -3 -2 - 4a22 + 5a22 = -3 a22 = -3 + 2 = -1
Substituindo na segunda equação:
a21 = 1 + 2(-1) = -1
Então:

Passo 6

Agora, vamos para a terceira linha:
a31 - 2a32 = 3 -2a31 + 5a32 = -7
Isolando a31 = 3 + 2a32 na primeira equação:
-2(3 + 2a32) + 5a32 = -7 -6 - 4a32 + 5a32 = -7 a32 = -7 + 6 = -1
Substituindo na segunda equação:
a31 = 3 + 2(-1) = 1
Então:

Passo 7

Agora que temos todos os elementos da matriz A = 2 & 1 -1 & -1 1 & -1 :
T(-5, 11) = A -5 11 = 2(-5) + 1(11) -1(-5) + (-1)(11) 1(-5) + (-1)(11) = -10 + 11 5 - 11 -5 - 11 = 1 -6 -16
Vamos usar essa matriz para encontrar :

Resposta

O valor de é 1. Então, a resposta correta é a alternativa © 1.

Exercícios relacionados

Seja
H=span[r 1 1 1 -2 ],[r -3 -2 -2 5 ],[l 1 0 2 1 ]
Encontre um vetor x in H^perp, com x neq 0. Calcule x3 / x4 :
(A) 1
(B) -1
© 0
(D) -2
(E) Não sei
A matriz A2 times 2 é tal que Ker A=span(2,-3) e Imagem A=span(-2,1).
Se a22=4, calcule a matriz A.
Assinale abaixo o valor da entrada a11 :
(A) -12
(B) -11
© -13
(D) -14
(E) Não sei
Calcule o determinante das matrizes abaixo.
[ll4 & 1 8 & 2]
Calcule o determinante das matrizes abaixo.
[ccraiz2 & raiz6 4 & raiz3]