A matriz A é 4 times 3 e tem colunas LI. Os vetores A(l1 0 0), A(l1 1 0) e A(l1 1 1) formam um conjunto LI ou LD?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício fala sobre uma matriz c1 0 0 que tem 4 linhas e 3 colunas ( c1 1 0) e diz que as colunas dessa matriz são linearmente independentes (LI). A gente precisa descobrir se os vetores c1 1 1, e formam um conjunto de vetores linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que as colunas de são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhuma coluna pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Em termos de transformação linear, a matriz transforma vetores do espaço para de forma que a imagem das colunas mantém essa independência.

Passo 3

Agora, vamos analisar os vetores que a gente tem: c1 0 0, c1 1 0 e c1 1 1. Esses vetores são imagens de vetores do através da matriz . Vamos chamar esses vetores de , e respectivamente.

Passo 4

Para saber se , e são LI ou LD, precisamos verificar se existe uma combinação linear dessas vírgias que resulte no vetor zero apenas quando todos os coeficientes forem zero. Ou seja, queremos ver se a única solução para é .

Passo 5

Vamos montar essa combinação linear:
c1 A(c1 0 0) + c2 A(c1 1 0) + c3 A(c1 1 1) = A(c c1 + c2 + c3 c2 + c3 c3 ) = 0
Como c1 + c2 + c3 = 0 c2 + c3 = 0 c3 = 0 tem colunas LI, a única maneira disso ser zero é se o vetor dentro da transformação for o vetor zero. Então:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação, .
  • Substituindo na segunda equação: então .
  • Substituindo e na primeira equação: então .

Passo 7

Como a única solução é , isso significa que os vetores , e são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores c1 0 0, c1 1 0 e c1 1 1 formam um conjunto linearmente independente (LI).

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