Um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante 24 raiz3 m, em 4 s . Sabemos que o vento na região tem rapidez 3 m / s e aponta na direção N. Determine com que direção e rapidez deve ser lançado o projétil para que o lançamento tenha sucesso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a direção e a rapidez com que o projétil deve ser lançado para atingir o alvo, levando em conta o vento que está soprando. A matéria envolvida aqui é o movimento vetorial, onde vamos usar conceitos de vetores para somar as velocidades do projétil e do vento. Para resolver, vamos precisar entender como somar vetores e usar fórmulas de velocidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as direções envolvidas. A direção N60L significa 60 graus a oeste do norte. Imaginar isso no plano cartesiano ajuda: o norte corresponde ao eixo y positivo, e o leste ao eixo x positivo.

Passo 3

Sabemos que o alvo está a uma distância de v = distânciatempo metros e que o projétil deve atingir o alvo em 4 segundos. Então, precisamos calcular a velocidade média necessária para cobrir essa distância em 4 segundos.
A fórmula para velocidade média ( v = 24raiz3 m4 s = 6raiz3 m/s ) é:
â
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos considerar o efeito do vento. O vento tem uma velocidade de 3 m/s na direção norte. Isso significa que o vento está adicionando um vetor de velocidade ao movimento do projétil.
Para que o projétil atinja o alvo corretamente, a velocidade com que ele é lançado deve compensar essa velocidade do vento.

Passo 5

Vamos decompor os vetores. A velocidade resultante necessária para atingir o alvo é de vr = vp + vw m/s na direção N60L. O vento está somando 3 m/s na direção norte (eixo y).
Vamos representar a velocidade do projétil como e a do vento como . A velocidade resultante será:
Sabemos que deve ter magnitude m/s na direção N60L.

Passo 6

Vamos decompor vrx = 6raiz3 cdot sin(60°) = 6raiz3 cdot raiz32 = 6 cdot 32 = 9 m/s em componentes x e y. Na direção N60L:
vry = 6raiz3 cdot cos(60°) = 6raiz3 cdot 12 = 3raiz3 m/s

Passo 7

A velocidade do vento vwx = 0 m/s tem apenas componente y:
vwy = 3 m/s

Passo 8

Agora, sabemos que:
vr = vp + vw
Então, para cada componente:
vrx = vpx + vwx Rightarrow 9 = vpx + 0 Rightarrow vpx = 9 m/s
vry = vpy + vwy Rightarrow 3raiz3 = vpy + 3 Rightarrow vpy = 3raiz3 - 3 m/s

Passo 9

Agora temos as componentes da velocidade do projétil:
vp = (9, 3raiz3 - 3) m/s
Vamos calcular a magnitude (rapidez) de |vp| = raizvpx^2 + vpy^2 = raiz9^2 + (3raiz3 - 3)^2 :
(3raiz3 - 3)^2 = 27 - 18 + 9 = 18
Calculando |vp| = raiz81 + 18 = raiz99 = 3raiz11 m/s :
Então:

Passo 10

Agora, vamos encontrar a direção da velocidade do projétil. Usamos a fórmula da tangente para encontrar o ângulo tan(theta) = vpyvpx = 3raiz3 - 39 = raiz3 - 13 :
theta = arctan(raiz3 - 13) approx 20°
Calculando o ângulo:
Isso significa que o projétil deve ser lançado a 20 graus a oeste do norte.

Resposta

O projétil deve ser lançado com uma rapidez de m/s na direção de 20° a oeste do norte para que o lançamento seja bem-sucedido.

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