Um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante , em 4 s . Sabemos que o vento na região tem rapidez e aponta na direção N. Determine com que direção e rapidez deve ser lançado o projétil para que o lançamento tenha sucesso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a direção e a rapidez com que o projétil deve ser lançado para atingir o alvo, levando em conta o vento que está soprando. A matéria envolvida aqui é o movimento vetorial, onde vamos usar conceitos de vetores para somar as velocidades do projétil e do vento. Para resolver, vamos precisar entender como somar vetores e usar fórmulas de velocidade média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as direções envolvidas. A direção N60L significa 60 graus a oeste do norte. Imaginar isso no plano cartesiano ajuda: o norte corresponde ao eixo y positivo, e o leste ao eixo x positivo.
Passo 3
Sabemos que o alvo está a uma distância de metros e que o projétil deve atingir o alvo em 4 segundos. Então, precisamos calcular a velocidade média necessária para cobrir essa distância em 4 segundos.
A fórmula para velocidade média () é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos considerar o efeito do vento. O vento tem uma velocidade de 3 m/s na direção norte. Isso significa que o vento está adicionando um vetor de velocidade ao movimento do projétil.
Para que o projétil atinja o alvo corretamente, a velocidade com que ele é lançado deve compensar essa velocidade do vento.
Passo 5
Vamos decompor os vetores. A velocidade resultante necessária para atingir o alvo é de m/s na direção N60L. O vento está somando 3 m/s na direção norte (eixo y).
Vamos representar a velocidade do projétil como e a do vento como . A velocidade resultante será:
Sabemos que deve ter magnitude m/s na direção N60L.
Passo 6
Vamos decompor em componentes x e y. Na direção N60L:
Passo 7
A velocidade do vento tem apenas componente y:
Passo 8
Agora, sabemos que:
Então, para cada componente:
Passo 9
Agora temos as componentes da velocidade do projétil:
Vamos calcular a magnitude (rapidez) de :
Calculando :
Então:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a direção da velocidade do projétil. Usamos a fórmula da tangente para encontrar o ângulo :
Calculando o ângulo:
Isso significa que o projétil deve ser lançado a 20 graus a oeste do norte.
Resposta
O projétil deve ser lançado com uma rapidez de m/s na direção de 20° a oeste do norte para que o lançamento seja bem-sucedido.