Para as matrizes
e
dadas a seguir, calcule
e calcule
. Em seguida explique porque a igualdade
em geral não é válida para matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! Aqui, a gente vai trabalhar com soma e multiplicação de matrizes. Precisaremos saber como somar matrizes, multiplicar matrizes e entender um pouco sobre as propriedades dessas operações para ver por que, em geral, a igualdade
não funciona para matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para somar duas matrizes, a gente simplesmente soma os elementos correspondentes.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é
. Para multiplicar matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Primeiro, precisamos calcular
,
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Então,
é:
Calculando
:
Agora, somando tudo:
Passo 5
Perceba que
é diferente de
. Isso acontece porque, em geral, para matrizes, a multiplicação não é comutativa, ou seja,
. Portanto, a ordem das multiplicações importa, e a identidade
só vale para matrizes que comutam entre si.
Resposta
A igualdade
não é válida para matrizes em geral porque a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
. Isso faz com que os termos
e
não se cancelem, resultando em matrizes diferentes quando aplicamos a operação.