Para as matrizes A e B dadas a seguir, calcule (A+B)^2 e calcule A^2+2 A B+B^2. Em seguida explique porque a igualdade (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2 em geral não é válida para matrizes.
A=[rr 1 & -1 0 & 1 ] e B=[rr 0 & 4 2 & -1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes juntos! Aqui, a gente vai trabalhar com soma e multiplicação de matrizes. Precisaremos saber como somar matrizes, multiplicar matrizes e entender um pouco sobre as propriedades dessas operações para ver por que, em geral, a igualdade não funciona para matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 1 & -1 0 & 1 , B = 0 & 4 2 & -1 . Para somar duas matrizes, a gente simplesmente soma os elementos correspondentes.
A + B = 1+0 & -1+4 0+2 & 1+(-1) = 1 & 3 2 & 0
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular A + B = 1 & 3 2 & 0 , que é (A+B)^2 = 1 & 3 2 & 0 1 & 3 2 & 0 = (1 times 1 + 3 times 2) & (1 times 3 + 3 times 0) (2 times 1 + 0 times 2) & (2 times 3 + 0 times 0) = 7 & 3 2 & 6 . Para multiplicar matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e somamos os resultados.
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular A^2 = A times A = 1 & -1 0 & 1 1 & -1 0 & 1 = (1 times 1 + (-1) times 0) & (1 times -1 + (-1) times 1) (0 times 1 + 1 times 0) & (0 times -1 + 1 times 1) = 1 & -2 0 & 1 . Primeiro, precisamos calcular AB = A times B = 1 & -1 0 & 1 0 & 4 2 & -1 = (1 times 0 + (-1) times 2) & (1 times 4 + (-1) times -1) (0 times 0 + 1 times 2) & (0 times 4 + 1 times -1) = -2 & 5 2 & -1 , 2AB = 2 times -2 & 5 2 & -1 = -4 & 10 4 & -2 e B^2 = B times B = 0 & 4 2 & -1 0 & 4 2 & -1 = (0 times 0 + 4 times 2) & (0 times 4 + 4 times -1) (2 times 0 + (-1) times 2) & (2 times 4 + (-1) times -1) = 8 & -4 -2 & 9 .
Calculando A^2 + 2AB + B^2 = 1 & -2 0 & 1 + -4 & 10 4 & -2 + 8 & -4 -2 & 9 = 1-4+8 & -2+10-4 0+4-2 & 1-2+9 = 5 & 4 2 & 8 :
Calculando :
Então, é:
Calculando :
Agora, somando tudo:

Passo 5

Perceba que 7 & 3 2 & 6 é diferente de 5 & 4 2 & 8 . Isso acontece porque, em geral, para matrizes, a multiplicação não é comutativa, ou seja, . Portanto, a ordem das multiplicações importa, e a identidade só vale para matrizes que comutam entre si.

Resposta

(A+B)^2 = 7 & 3 2 & 6
A^2 + 2AB + B^2 = 5 & 4 2 & 8
A igualdade não é válida para matrizes em geral porque a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, . Isso faz com que os termos e não se cancelem, resultando em matrizes diferentes quando aplicamos a operação.

Exercícios relacionados