Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(b) (cc1 & 3 2 & -4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar os autovalores e autovetores dela. Depois, se der, a gente vai diagonalizar a matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Lembra que autovalores são os valores que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz dada e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 3 2 & -4 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-4 - lambda) - (3 times 2)

Passo 5

Vamos expandir o determinante:
(1 - lambda)(-4 - lambda) = -4(1) - lambda(1) + 4lambda + lambda^2 = -4 - lambda + 4lambda + lambda^2 = lambda^2 + 3lambda - 4
Subtraindo det(A - lambda I) = lambda^2 + 3lambda - 4 - 6 = lambda^2 + 3lambda - 10 :

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 7

Calculando o discriminante:
De
Como lambda = -3 pm raiz492 = -3 pm 72 é positivo, temos duas soluções reais:
lambda1 = 42 = 2 e lambda2 = -102 = -5
Portanto:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .

Passo 9

Para A - 2I = 1-2 & 3 2 & -4-2 = -1 & 3 2 & -6 , resolvemos -1 cdot v1 + 3 cdot v2 = 0 2 cdot v1 - 6 cdot v2 = 0 :
- v1 + 3t = 0 Rightarrow v1 = 3t
Isso resulta no sistema:
v1 = t 3 1
Observamos que as duas equações são equivalentes. Então, podemos escolher v1 = 3 1 (um parâmetro livre), e:
Assim, o autovetor é:
Podemos escolher , então:

Passo 10

Para A + 5I = 1+5 & 3 2 & -4+5 = 6 & 3 2 & 1 , resolvemos 6 cdot v1 + 3 cdot v2 = 0 2 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 :
6v1 + 3t = 0 Rightarrow v1 = -3t6 = -t2
Isso resulta no sistema:
v2 = t -12 1
Novamente, as equações são equivalentes. Então, escolhemos v2 = -1 2 :
Assim, o autovetor é:
Escolhendo para simplificar:

Passo 11

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz se tanto os autovalores quanto os autovetores forem distintos e a matriz for invertível.

Passo 12

Formamos a matriz de autovetores P = 3 & -1 1 & 2, D = 2 & 0 0 & -5 e a matriz diagonal A = P D P^-1 :
A matriz pode ser diagonalizada como:

Resposta

Os autovalores da matriz são 3 1 e -1 2. Os autovetores correspondentes são A = P D P^-1 onde P = 3 & -1 1 & 2 e D = 2 & 0 0 & -5 e . A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma:

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