Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar os autovalores e autovetores dela. Depois, se der, a gente vai diagonalizar a matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Lembra que autovalores são os valores que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz dada e é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vamos expandir o determinante:
Subtraindo :
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Passo 7
Calculando o discriminante:
Como é positivo, temos duas soluções reais:
Portanto:
Passo 8
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Passo 9
Para , resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Observamos que as duas equações são equivalentes. Então, podemos escolher (um parâmetro livre), e:
Assim, o autovetor é:
Podemos escolher , então:
Passo 10
Para , resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Então, escolhemos :
Assim, o autovetor é:
Escolhendo para simplificar:
Passo 11
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz se tanto os autovalores quanto os autovetores forem distintos e a matriz for invertível.
Passo 12
Formamos a matriz de autovetores e a matriz diagonal :
A matriz pode ser diagonalizada como:
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são e . A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma: