Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar os autovalores e autovetores dela. Depois, se der, a gente vai diagonalizar a matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Lembra que autovalores são os valores que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz dada e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Vamos expandir o determinante:
Subtraindo :

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .

Passo 7

Calculando o discriminante:
Como é positivo, temos duas soluções reais:
Portanto:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .

Passo 9

Para , resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Observamos que as duas equações são equivalentes. Então, podemos escolher (um parâmetro livre), e:
Assim, o autovetor é:
Podemos escolher , então:

Passo 10

Para , resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Então, escolhemos :
Assim, o autovetor é:
Escolhendo para simplificar:

Passo 11

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz se tanto os autovalores quanto os autovetores forem distintos e a matriz for invertível.

Passo 12

Formamos a matriz de autovetores e a matriz diagonal :
A matriz pode ser diagonalizada como:

Resposta

Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são e . A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma:

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