Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem uma matriz quadrada
e precisa encontrar os autovalores e autovetores dela. Depois, se der, a gente vai diagonalizar a matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Lembra que autovalores são os valores
que satisfazem a equação característica:
, onde
é a matriz dada e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vamos expandir o determinante:
Subtraindo
:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Passo 7
Calculando o discriminante:
Como
é positivo, temos duas soluções reais:
Portanto:
Passo 8
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Passo 9
Para
, resolvemos
:
Isso resulta no sistema:
Observamos que as duas equações são equivalentes. Então, podemos escolher
(um parâmetro livre), e:
Assim, o autovetor é:
Podemos escolher
, então:
Passo 10
Para
, resolvemos
:
Isso resulta no sistema:
Novamente, as equações são equivalentes. Então, escolhemos
:
Assim, o autovetor é:
Escolhendo
para simplificar:
Passo 11
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos diagonalizar a matriz se tanto os autovalores quanto os autovetores forem distintos e a matriz for invertível.
Passo 12
Formamos a matriz de autovetores
e a matriz diagonal
:
A matriz
pode ser diagonalizada como:
Resposta
Os autovalores da matriz são
e
. Os autovetores correspondentes são
e
. A matriz pode ser diagonalizada da seguinte forma: