Mostre que T: U V é uma transformação linear se, e somente se,
T(lambda u1+u2)=lambda T(u1)+T(u2), forall u1, u2 in U, forall lambda in K

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que uma transformação T(lambda u1 + u2) = lambda T(u1) + T(u2) é linear se e somente se, para todo vetor em e todo escalar em , a seguinte igualdade vale:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como funcionam as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todos em .
  2. Homogeneidade: para todo em e todo escalar .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição dada no exercício:
T(lambda u1 + u2) = lambda T(u1) + T(u2)
Essa igualdade combina as duas propriedades que definem uma transformação linear: a homogeneidade com respeito a e a aditividade com .

Passo 4

Vamos primeiro mostrar que se T(lambda u1 + u2) = T(lambda u1) + T(u2) (pela aditividade) é linear, então a condição do exercício é satisfeita. Assumindo que T(lambda u1) = lambda T(u1) (pela homo>=neidade) é linear, temos:
T(lambda u1 + u2) = lambda T(u1) + T(u2)
E,
Substituindo, temos:
Isso confirma que a condição do exercício é satisfeita se for linear.

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: se a condição do exercício é verdadeira para todo T(1 cdot u1 + u2) = 1 cdot T(u1) + T(u2) implies T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) em T(lambda u1 + 0) = lambda T(u1) + T(0) implies T(lambda u1) = lambda T(u1) + T(0) e todo em , então é linear.
Primeiro, para verificar a aditividade, tomamos :
Isso mostra que satisfaz a aditividade.
Segundo, para verificar a homogeneidade, consideramos (onde é o vetor nulo em ):
Para que isso seja válido para todo , precisamos que . Geralmente, em transformações lineares, é assumido que .

Passo 6

Portanto, se a condição é verdadeira para todos em e todos , então satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ou seja, é uma transformação linear.

Resposta

Concluímos que T(lambda u1 + u2) = lambda T(u1) + T(u2) é uma transformação linear se e somente se, para todo em e todo escalar em , a igualdade
é satisfeita.

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