Mostre que é uma transformação linear se, e somente se,

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que uma transformação é linear se e somente se, para todo vetor em e todo escalar em , a seguinte igualdade vale:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como funcionam as propriedades de linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todos em .
  2. Homogeneidade: para todo em e todo escalar .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição dada no exercício:
Essa igualdade combina as duas propriedades que definem uma transformação linear: a homogeneidade com respeito a e a aditividade com .

Passo 4

Vamos primeiro mostrar que se é linear, então a condição do exercício é satisfeita. Assumindo que é linear, temos:
E,
Substituindo, temos:
Isso confirma que a condição do exercício é satisfeita se for linear.

Passo 5

Agora, vamos provar a outra direção: se a condição do exercício é verdadeira para todo em e todo em , então é linear.
Primeiro, para verificar a aditividade, tomamos :
Isso mostra que satisfaz a aditividade.
Segundo, para verificar a homogeneidade, consideramos (onde é o vetor nulo em ):
Para que isso seja válido para todo , precisamos que . Geralmente, em transformações lineares, é assumido que .

Passo 6

Portanto, se a condição é verdadeira para todos em e todos , então satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ou seja, é uma transformação linear.

Resposta

Concluímos que é uma transformação linear se e somente se, para todo em e todo escalar em , a igualdade
é satisfeita.

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(k)
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