Mostre que
é uma transformação linear se, e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Queremos mostrar que uma transformação
é linear se e somente se, para todo vetor
em
e todo escalar
em
, a seguinte igualdade vale:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como funcionam as propriedades de linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para todos em . - Homogeneidade:
para todo em e todo escalar .
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição dada no exercício:
Essa igualdade combina as duas propriedades que definem uma transformação linear: a homogeneidade com respeito a
e a aditividade com
.
Passo 4
Vamos primeiro mostrar que se
é linear, então a condição do exercício é satisfeita. Assumindo que
é linear, temos:
E,
Substituindo, temos:
Isso confirma que a condição do exercício é satisfeita se
for linear.
Passo 5
Agora, vamos provar a outra direção: se a condição do exercício é verdadeira para todo
em
e todo
em
, então
é linear.
Primeiro, para verificar a aditividade, tomamos
:
Isso mostra que
satisfaz a aditividade.
Segundo, para verificar a homogeneidade, consideramos
(onde
é o vetor nulo em
):
Para que isso seja válido para todo
, precisamos que
. Geralmente, em transformações lineares, é assumido que
.
Passo 6
Portanto, se a condição
é verdadeira para todos
em
e todos
, então
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ou seja,
é uma transformação linear.
Resposta
Concluímos que
é uma transformação linear se e somente se, para todo
em
e todo escalar
em
, a igualdade
é satisfeita.