Resolva os sistemas a seguir.
(k) l2 x-y-w=3 y+z+2 w=2 x-2 y-z=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . Para resolver isso, vamos usar métodos de eliminação para encontrar os valores das incógnitas ou expressá-las em termos de uma variável livre.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na terceira equação:
x - 2y - z = -1
Vamos isolar o x = -1 + 2y + z para facilitar:
Agora, temos em termos de e .

Passo 3

Vamos substituir essa expressão de 2x - y - w = 3 na primeira equação do sistema:
2(-1 + 2y + z) - y - w = 3
Substituindo -2 + 4y + 2z - y - w = 3 :
3y + 2z - w = 5
Distribuindo o 2:
Simplificando os termos semelhantes:
Agora, temos uma nova equação com , e .

Passo 4

Vamos olhar para a segunda equação original:
y + z + 2w = 2
Podemos isolar o y = 2 - z - 2w :
Agora, temos em termos de e .

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão de 3y + 2z - w = 5 que encontramos na equação que obtivemos no Passo 3:
3(2 - z - 2w) + 2z - w = 5
Substituindo 6 - 3z - 6w + 2z - w = 5 :
6 - z - 7w = 5
Distribuindo o 3:
-z - 7w = -1 implies z + 7w = 1 implies z = 1 - 7w
Simplificando:
Isolando :

Passo 6

Agora que temos y = 2 - z - 2w em termos de y = 2 - (1 - 7w) - 2w = 2 - 1 + 7w - 2w = 1 + 5w , podemos voltar para a expressão de que encontramos no Passo 4:
Substituindo :

Passo 7

Vamos agora encontrar x = -1 + 2y + z usando a expressão do Passo 2:
x = -1 + 2(1 + 5w) + (1 - 7w) = -1 + 2 + 10w + 1 - 7w = 2 + 3w
Substituindo e :

Resposta

A solução do sistema é expressa em termos de x = 2 + 3w y = 1 + 5w z = 1 - 7w w = w , que pode ser qualquer número real:
(x, y, z, w) = (2 + 3w, 1 + 5w, 1 - 7w, w), onde w in R
Ou, de forma mais resumida:

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