Sejam e transformações lineares. Encontre um exemplo em que não é invertível e outro em que é invertível.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar exemplos de transformações lineares e de certos espaços vetoriais, de forma que a composição seja ou não invertível. A matéria que estamos lidando aqui é Transformações Lineares e Composição de Transformações. Vamos precisar entender como compor duas transformações lineares e o que faz uma transformação ser invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é basicamente uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, e . A composição significa que primeiro aplicamos e depois .

Passo 3

Para que a composição seja não invertível, ela precisa ser uma transformação que não tem uma função inversa. Isso acontece quando a transformação não é bijetora, ou seja, não é injetora (não separa todos os vetores de entrada) ou não é sobrejetora (não atinge todo o espaço de saída). Vamos criar e de forma que a composição perca essa propriedade.

Passo 4

Vamos definir de maneira simples, por exemplo:
Aqui, está “injetando” em acrescentando uma terceira coordenada zero.

Passo 5

Agora, vamos definir de forma que ele “projete” qualquer vetor de no plano , por exemplo:
Assim, a terceira coordenada é descartada.

Passo 6

Vamos ver o que acontece com a composição :
Nesse caso, a composição parece ser a identidade, mas vamos ajustar para que não seja invertível.

Passo 7

Para que não seja invertível, precisamos que a transformação perca informação. Vamos redefinir como:
Agora, se varia, mas não afeta a segunda coordenada, a transformação pode não ser invertível dependendo de .

Passo 8

Vamos verificar a composição com definido como antes:
Nesse caso, a transformação ainda é a identidade. Para tornar não invertível, vamos definir de forma que perca uma dimensão:

Passo 9

Vamos definir como:
Agora, qualquer variação em ou não afeta a saída, tornando não invertível.

Passo 10

Com e definidos assim:
A composição fica:
Essa transformação não é invertível porque diferentes vetores de podem mapear para o mesmo vetor em , perdendo informações.

Passo 11

Agora, para que seja invertível, precisamos que a composição seja bijetora, ou seja, que cada entrada tenha uma única saída e vice-versa. Para isso, e precisam ser escolhidos de forma que a composição mantenha toda a informação.

Passo 12

Vamos redefinir como uma transformação que realmente mantém a informação de . Por exemplo:
Isso projeta de volta para , mas de forma que nenhuma informação é perdida se foi injectiva.

Passo 13

Com definido novamente como:
Onde é escolhido de forma que a transformação seja invertível. Por exemplo, .

Passo 14

Então, a composição fica:
Aqui, a transformação é a identidade, que é claramente invertível porque cada vetor mapeia para si mesmo e tem um inverso bem definido.

Resposta

Um exemplo onde não é invertível é:
E um exemplo onde é invertível é:

Exercícios relacionados

Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Sejam e transformações lineares. Prove que não é invertível.
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Mostre que , definida por
é uma transformação linear.