Sejam e transformações lineares. Encontre um exemplo em que não é invertível e outro em que é invertível.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar exemplos de transformações lineares e de certos espaços vetoriais, de forma que a composição seja ou não invertível. A matéria que estamos lidando aqui é Transformações Lineares e Composição de Transformações. Vamos precisar entender como compor duas transformações lineares e o que faz uma transformação ser invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é basicamente uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, e . A composição significa que primeiro aplicamos e depois .
Passo 3
Para que a composição seja não invertível, ela precisa ser uma transformação que não tem uma função inversa. Isso acontece quando a transformação não é bijetora, ou seja, não é injetora (não separa todos os vetores de entrada) ou não é sobrejetora (não atinge todo o espaço de saída). Vamos criar e de forma que a composição perca essa propriedade.
Passo 4
Vamos definir de maneira simples, por exemplo:
Aqui, está “injetando” em acrescentando uma terceira coordenada zero.
Passo 5
Agora, vamos definir de forma que ele “projete” qualquer vetor de no plano , por exemplo:
Assim, a terceira coordenada é descartada.
Passo 6
Vamos ver o que acontece com a composição :
Nesse caso, a composição parece ser a identidade, mas vamos ajustar para que não seja invertível.
Passo 7
Para que não seja invertível, precisamos que a transformação perca informação. Vamos redefinir como:
Agora, se varia, mas não afeta a segunda coordenada, a transformação pode não ser invertível dependendo de .
Passo 8
Vamos verificar a composição com definido como antes:
Nesse caso, a transformação ainda é a identidade. Para tornar não invertível, vamos definir de forma que perca uma dimensão:
Passo 9
Vamos definir como:
Agora, qualquer variação em ou não afeta a saída, tornando não invertível.
Passo 10
Com e definidos assim:
A composição fica:
Essa transformação não é invertível porque diferentes vetores de podem mapear para o mesmo vetor em , perdendo informações.
Passo 11
Agora, para que seja invertível, precisamos que a composição seja bijetora, ou seja, que cada entrada tenha uma única saída e vice-versa. Para isso, e precisam ser escolhidos de forma que a composição mantenha toda a informação.
Passo 12
Vamos redefinir como uma transformação que realmente mantém a informação de . Por exemplo:
Isso projeta de volta para , mas de forma que nenhuma informação é perdida se foi injectiva.
Passo 13
Com definido novamente como:
Onde é escolhido de forma que a transformação seja invertível. Por exemplo, .
Passo 14
Então, a composição fica:
Aqui, a transformação é a identidade, que é claramente invertível porque cada vetor mapeia para si mesmo e tem um inverso bem definido.