Sejam T: R^3 R^2 e S: R^2 R^3 transformações lineares. Encontre um exemplo em que T circ S: R^2 R^2 não é invertível e outro em que T circ S é invertível.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para a gente encontrar exemplos de transformações lineares e de certos espaços vetoriais, de forma que a composição seja ou não invertível. A matéria que estamos lidando aqui é Transformações Lineares e Composição de Transformações. Vamos precisar entender como compor duas transformações lineares e o que faz uma transformação ser invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é basicamente uma função que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, e . A composição significa que primeiro aplicamos e depois .

Passo 3

Para que a composição seja não invertível, ela precisa ser uma transformação que não tem uma função inversa. Isso acontece quando a transformação não é bijetora, ou seja, não é injetora (não separa todos os vetores de entrada) ou não é sobrejetora (não atinge todo o espaço de saída). Vamos criar e de forma que a composição perca essa propriedade.

Passo 4

Vamos definir S( x y ) = x y 0 de maneira simples, por exemplo:
Aqui, está “injetando” em acrescentando uma terceira coordenada zero.

Passo 5

Agora, vamos definir T( a b c ) = a b de forma que ele “projete” qualquer vetor de no plano , por exemplo:
Assim, a terceira coordenada é descartada.

Passo 6

Vamos ver o que acontece com a composição T(S( x y )) = T( x y 0 ) = x y :
Nesse caso, a composição parece ser a identidade, mas vamos ajustar para que não seja invertível.

Passo 7

Para que T( a b c ) = a + c b não seja invertível, precisamos que a transformação perca informação. Vamos redefinir como:
Agora, se varia, mas não afeta a segunda coordenada, a transformação pode não ser invertível dependendo de .

Passo 8

Vamos verificar a composição com T(S( x y )) = T( x y 0 ) = x + 0 y = x y definido como antes:
Nesse caso, a transformação ainda é a identidade. Para tornar não invertível, vamos definir de forma que perca uma dimensão:

Passo 9

Vamos definir T( a b c ) = a 0 como:
Agora, qualquer variação em ou não afeta a saída, tornando não invertível.

Passo 10

Com S( x y ) = x y 0 e T( a b c ) = a 0 definidos assim:
T(S( x y )) = x 0
A composição fica:
Essa transformação não é invertível porque diferentes vetores de podem mapear para o mesmo vetor em , perdendo informações.

Passo 11

Agora, para que seja invertível, precisamos que a composição seja bijetora, ou seja, que cada entrada tenha uma única saída e vice-versa. Para isso, e precisam ser escolhidos de forma que a composição mantenha toda a informação.

Passo 12

Vamos redefinir T( a b c ) = a b como uma transformação que realmente mantém a informação de . Por exemplo:
Isso projeta de volta para , mas de forma que nenhuma informação é perdida se foi injectiva.

Passo 13

Com S( x y ) = x y c definido novamente como:
Onde é escolhido de forma que a transformação seja invertível. Por exemplo, .

Passo 14

Então, a composição fica:
T(S( x y )) = T( x y x + y ) = x y
Aqui, a transformação é a identidade, que é claramente invertível porque cada vetor mapeia para si mesmo e tem um inverso bem definido.

Resposta

Um exemplo onde S( x y ) = x y 0 não é invertível é:
T( a b c ) = a 0
S( x y ) = x y x + y
E um exemplo onde T( a b c ) = a b é invertível é:

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