Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada abaixo e, se possível, diagonalizá-la. A matriz em questão é:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos calcular o polinômio característico, que é dado por:
Onde:
  • é a matriz original.
  • representa os autovalores.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir e simplificar:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada autovalor , resolvemos o sistema:
Onde é o autovetor.

Passo 6

Para :
Montamos a matriz :

[
A - 7I =


]
Agora, resolvemos o sistema:
Podemos simplificar as equações:
Escolhemos (pode ser qualquer valor não nulo):
Portanto, um autovetor correspondente a é:

Passo 7

Para :
Montamos a matriz :

[
A + 4I =


]
Resolvendo o sistema:
Simplificando a segunda equação:
Escolhemos (novamente, qualquer valor não nulo serve):
Então, um autovetor correspondente a é:

Passo 8

Com os autovalores e autovetores encontrados, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Para uma matriz , ela é diagonalizável se tiver dois autovalores distintos (o que temos) e autovetores linearmente independentes (o que também temos).
Então, a matriz é diagonalizável.

Passo 9

Para diagonalizar a matriz, montamos a matriz com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
A relação é .

Resposta

Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são:
A matriz é diagonalizável, e sua diagonalização é dada por:
Onde:

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas a seguir.
(k)
Mostre que é uma transformação linear se, e somente se,
Mostre que , onde é a função que deriva um polinômio, isto é, , é uma transformação linear.
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e