Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(d) (cc5 & 6 3 & -2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada abaixo e, se possível, diagonalizá-la. A matriz em questão é:
5 & 6 3 & -2
Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos calcular o polinômio característico, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde:
  • é a matriz original.
  • representa os autovalores.
  • é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 5 - lambda & 6 3 & -2 - lambda :
det(A - lambda I) = (5 - lambda)(-2 - lambda) - (6)(3)
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
(5 - lambda)(-2 - lambda) = -10 -5lambda + 2lambda + lambda^2 = lambda^2 -3lambda -10
Vamos expandir e simplificar:
- (6)(3) = -18
det(A - lambda I) = lambda^2 -3lambda -10 -18 = lambda^2 -3lambda -28

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 - 3lambda - 28 = 0
Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de lambda = 3 pm raiz9 + 1122 = 3 pm raiz1212 = 3 pm 112 :
lambda1 = 3 + 112 = 7 e lambda2 = 3 - 112 = -4
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora que temos os autovalores (A - lambda I) cdot v = 0 e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada autovalor , resolvemos o sistema:
Onde é o autovetor.

Passo 6

Para A - 7I = 5 - 7 & 6 3 & -2 -7 = -2 & 6 3 & -9 :
Montamos a matriz -2v1 + 6v2 = 0 3v1 -9v2 = 0 :

[
A - 7I =
-2v1 + 6v2 = 0 implies v1 = 3v2

v1 = 3 times 1 = 3
]
Agora, resolvemos o sistema:
v1 = 3 1
Podemos simplificar as equações:
Escolhemos (pode ser qualquer valor não nulo):
Portanto, um autovetor correspondente a é:

Passo 7

Para A + 4I = 5 + 4 & 6 3 & -2 +4 = 9 & 6 3 & 2 :
Montamos a matriz 9v1 + 6v2 = 0 3v1 + 2v2 = 0 :

[
A + 4I =
3v1 + 2v2 = 0 implies v1 = -23v2

v1 = -23 times 3 = -2
]
Resolvendo o sistema:
v2 = -2 3
Simplificando a segunda equação:
Escolhemos (novamente, qualquer valor não nulo serve):
Então, um autovetor correspondente a é:

Passo 8

Com os autovalores e autovetores encontrados, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Para uma matriz , ela é diagonalizável se tiver dois autovalores distintos (o que temos) e autovetores linearmente independentes (o que também temos).
Então, a matriz é diagonalizável.

Passo 9

Para diagonalizar a matriz, montamos a matriz P = 3 & -2 1 & 3 com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D = 7 & 0 0 & -4 com os autovalores na diagonal:
A relação é .

Resposta

Os autovalores da matriz são v1 = 3 1 , v2 = -2 3 e A = P D P^-1 . Os autovetores correspondentes são:
P = 3 & -2 1 & 3 , D = 7 & 0 0 & -4
A matriz é diagonalizável, e sua diagonalização é dada por:
Onde:

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