Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada abaixo e, se possível, diagonalizá-la. A matriz em questão é:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, precisamos calcular o polinômio característico, que é dado por:
Onde:
é a matriz original.
representa os autovalores.
é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir e simplificar:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de :
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para cada autovalor , resolvemos o sistema:
Onde é o autovetor.
Passo 6
Para :
Montamos a matriz :
[
A - 7I =
]
Agora, resolvemos o sistema:
Podemos simplificar as equações:
Escolhemos (pode ser qualquer valor não nulo):
Portanto, um autovetor correspondente a é:
Passo 7
Para :
Montamos a matriz :
[
A + 4I =
]
Resolvendo o sistema:
Simplificando a segunda equação:
Escolhemos (novamente, qualquer valor não nulo serve):
Então, um autovetor correspondente a é:
Passo 8
Com os autovalores e autovetores encontrados, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Para uma matriz , ela é diagonalizável se tiver dois autovalores distintos (o que temos) e autovetores linearmente independentes (o que também temos).
Então, a matriz é diagonalizável.
Passo 9
Para diagonalizar a matriz, montamos a matriz com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
A relação é .
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são:
A matriz é diagonalizável, e sua diagonalização é dada por: