Para matrizes quadratas, é possível calcular a diferença entre o produto A B e B A definido como comutador
[A, B] equiv A B-B A
Calcule o comutador [A, B] para as matrizes
A=(rr 1 & 2 2 & -1 ) e B=(ll 1 & 2 3 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o comutador de duas matrizes quadradas e , que é definido como . Isso significa que precisamos multiplicar as matrizes e nas duas ordens diferentes e depois subtrair os resultados. Para fazer isso, vamos usar a multiplicação de matrizes, que envolve somar os produtos dos elementos correspondentes das linhas de uma matriz com as colunas da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como multiplicar duas matrizes. Se temos duas matrizes m11 & m12 m21 & m22 e n11 & n12 n21 & n22 , o produto MN = m11n11 + m12n21 & m11n12 + m12n22 m21n11 + m22n21 & m21n12 + m22n22 é calculado assim:
Vamos aplicar isso às matrizes e .

Passo 3

Vamos calcular A = 1 & 2 2 & -1 , B = 1 & 2 3 & 2 primeiro. As matrizes são:
AB = 1 times 1 + 2 times 3 & 1 times 2 + 2 times 2 2 times 1 + (-1) times 3 & 2 times 2 + (-1) times 2
Aplicando a regra de multiplicação:
AB = 1 + 6 & 2 + 4 2 - 3 & 4 - 2 = 7 & 6 -1 & 2
Calculando cada elemento:

Passo 4

Agora, vamos calcular BA = 1 times 1 + 2 times 2 & 1 times 2 + 2 times (-1) 3 times 1 + 2 times 2 & 3 times 2 + 2 times (-1) . Usando as mesmas matrizes BA = 1 + 4 & 2 - 2 3 + 4 & 6 - 2 = 5 & 0 7 & 4 e :
Calculando cada elemento:

Passo 5

Finalmente, vamos encontrar o comutador [A, B] = 7 & 6 -1 & 2 - 5 & 0 7 & 4 = 7 - 5 & 6 - 0 -1 - 7 & 2 - 4 = 2 & 6 -8 & -2 :

Resposta

O comutador [A, B] = 2 & 6 -8 & -2 é:

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