Seja V um espaço vetorial euclidiano. Provar que à aplicação
(u, v) u * v=2
também é um produto interno sobre V. Generalize.
Solução
(a) (u+v) * w=2lang<= u+v, w>=2(lang<= u, vrang<=+lang<= v, w>)=2lang<= u, wrang<=+2
=u * w+v * w
(b) exercício;
© u * v=2=2=v * u;
(d) u * u=2>= 0, forall u in V e se u neq 0, então u * u>o.
Generalização: podemos substituir 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial euclidiano e uma aplicação que associa dois vetores e a . A tarefa é provar que essa aplicação também é um produto interno em e, depois, generalizar essa ideia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um produto interno e verificar se a aplicação as satisfaz.

Passo 2

Vamos começar lembrando quais são as propriedades que uma aplicação deve satisfazer para ser considerada um produto interno:
  1. Linearidade na primeira variável: Para todos os vetores (u + v) * w = u * w + v * w e escalar (alpha u) * w = alpha (u * w) , deve valer:
    u * v = v * u
    u * u >= 0
  2. Simetria: Para todos os vetores e :
  3. Positividade: Para todo vetor :
    E se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a aplicação .

Passo 3

Verificando a linearidade na primeira variável:
Vamos calcular (u + v) * w = 2lang<= u + v, w rang<= :
2lang<= u + v, w rang<= = 2lang<= u, w rang<= + 2lang<= v, w rang<= = u * w + v * w
Como o produto interno é linear na primeira variável, temos:
Isso mostra que a aplicação é linear na primeira variável.

Passo 4

Verificando a simetria:
Calculamos u * v = 2lang<= u, v rang<= e v * u = 2lang<= v, u rang<= :
u * v = v * u
Como o produto interno é simétrico ( ), temos:
Portanto, a aplicação é simétrica.

Passo 5

Verificando a positividade:
Vamos calcular u * u = 2lang<= u, u rang<= :
u * u = 2lang<= u, u rang<= >= 0
Sabemos que para todo e que se e somente se . Portanto:
E implica que , ou seja, .

Passo 6

Generalização:
Observamos que a aplicação , onde é um escalar positivo, também satisfaz todas as propriedades de um produto interno. Isso ocorre porque:
  1. A linearidade é mantida, já que é constante.
  2. A simetria é preservada porque .
  3. A positividade continua válida porque mantém .
Portanto, qualquer múltiplo positivo de um produto interno é também um produto interno.

Resposta

A aplicação é um produto interno em . Além disso, qualquer aplicação da forma , onde é um escalar positivo, também define um produto interno sobre .

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