Seja
um espaço vetorial euclidiano. Provar que à aplicação
também é um produto interno sobre V. Generalize.
Solução
(a)
(b) exercício;
©
;
(d)
e se
, então
.
Generalização: podemos substituir 0
Solução
(a)
©
(d)
Generalização: podemos substituir 0
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial euclidiano
e uma aplicação que associa dois vetores
e
a
. A tarefa é provar que essa aplicação também é um produto interno em
e, depois, generalizar essa ideia. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades que definem um produto interno e verificar se a aplicação
as satisfaz.
Passo 2
Vamos começar lembrando quais são as propriedades que uma aplicação deve satisfazer para ser considerada um produto interno:
-
Linearidade na primeira variável: Para todos os vetores
e escalar , deve valer: -
Simetria: Para todos os vetores
e : -
Positividade: Para todo vetor
: Ese e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a aplicação
.
Passo 3
Verificando a linearidade na primeira variável:
Vamos calcular
:
Como o produto interno é linear na primeira variável, temos:
Isso mostra que a aplicação
é linear na primeira variável.
Passo 4
Verificando a simetria:
Calculamos
e
:
Como o produto interno é simétrico (
), temos:
Portanto, a aplicação
é simétrica.
Passo 5
Verificando a positividade:
Vamos calcular
:
Sabemos que
para todo
e que
se e somente se
. Portanto:
E
implica que
, ou seja,
.
Passo 6
Generalização:
Observamos que a aplicação
, onde
é um escalar positivo, também satisfaz todas as propriedades de um produto interno. Isso ocorre porque:
- A linearidade é mantida, já que
é constante. - A simetria é preservada porque
. - A positividade continua válida porque
mantém .
Portanto, qualquer múltiplo positivo de um produto interno é também um produto interno.
Resposta
A aplicação
é um produto interno em
. Além disso, qualquer aplicação da forma
, onde
é um escalar positivo, também define um produto interno sobre
.