Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) vetores genéricos do R^2 e
d) Quais das seguintes matrizes definem produtos internos sobre o R^2 segundo a definição de que foi dada acima:
(ll 2 & 1 1 & 1 ),(rr -1 & 0 1 & 0 ) e (ll 1 & 1 1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente identificar quais das matrizes fornecidas definem um produto interno no espaço R^2. Para isso, precisamos lembrar que um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades, como ser simétrico e definido positivo. Vamos usar essas ideias para analisar cada matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz definir um produto interno. Se temos dois vetores u = (x1, x2) e v = (y1, y2), o produto interno deles pode ser representado por = u^T M v, onde M é a matriz em questão. Para que isso seja um produto interno válido, a matriz M precisa ser:
  1. Simétrica: ou seja, M = M^T.
  2. Definida positiva: para todo vetor u neq 0, > 0.
Vamos verificar essas propriedades para cada uma das matrizes dadas.

Passo 3

Primeira matriz:
M1 = 2 & 1 1 & 1
  • Simetria: M1 é igual ao seu transposto, já que os elementos fora da diagonal são iguais. Então, M1 é simétrica.
  • Definida positiva: Vamos verificar os menores principais.
    • O primeiro menor principal é 2, que é positivo.
    • O determinante de M1 é 2 times 1 - 1 times 1 = 1, que também é positivo.
    Como todos os menores principais são positivos, M1 é definida positiva.
Conclusão: M1 define um produto interno.

Passo 4

Segunda matriz:
M2 = -1 & 0 1 & 0
  • Simetria: Observamos que M2 neq M2^T porque o elemento (2,1) é 1 enquanto o elemento (1,2) é 0.
Como a matriz não é simétrica, ela não pode definir um produto interno.

Passo 5

Terceira matriz:
M3 = 1 & 1 1 & 1
  • Simetria: M3 é igual ao seu transposto, então é simétrica.
  • Definida positiva: Vamos verificar os menores principais.
    • O primeiro menor principal é 1, que é positivo.
    • O determinante de M3 é 1 times 1 - 1 times 1 = 0, que não é positivo.
    Como o determinante não é positivo, M3 não é definida positiva.
Conclusão: M3 não define um produto interno.

Resposta

Apenas a primeira matriz define um produto interno sobre o R^2.

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