Sejam
e
vetores genéricos do
d) Quais das seguintes matrizes definem produtos internos sobre o
segundo a definição de
que foi dada acima:
d) Quais das seguintes matrizes definem produtos internos sobre o
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente identificar quais das matrizes fornecidas definem um produto interno no espaço
. Para isso, precisamos lembrar que um produto interno precisa satisfazer algumas propriedades, como ser simétrico e definido positivo. Vamos usar essas ideias para analisar cada matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz definir um produto interno. Se temos dois vetores
e
, o produto interno deles pode ser representado por
, onde
é a matriz em questão. Para que isso seja um produto interno válido, a matriz
precisa ser:
- Simétrica: ou seja,
. - Definida positiva: para todo vetor
, .
Vamos verificar essas propriedades para cada uma das matrizes dadas.
Passo 3
Primeira matriz:
-
Simetria:
é igual ao seu transposto, já que os elementos fora da diagonal são iguais. Então, é simétrica. -
Definida positiva: Vamos verificar os menores principais.
- O primeiro menor principal é
, que é positivo. - O determinante de
é , que também é positivo.
Como todos os menores principais são positivos,é definida positiva. - O primeiro menor principal é
Conclusão:
define um produto interno.
Passo 4
Segunda matriz:
- Simetria: Observamos que
porque o elemento (2,1) é enquanto o elemento (1,2) é .
Como a matriz não é simétrica, ela não pode definir um produto interno.
Passo 5
Terceira matriz:
-
Simetria:
é igual ao seu transposto, então é simétrica. -
Definida positiva: Vamos verificar os menores principais.
- O primeiro menor principal é
, que é positivo. - O determinante de
é , que não é positivo.
Como o determinante não é positivo,não é definida positiva. - O primeiro menor principal é
Conclusão:
não define um produto interno.
Resposta
Apenas a primeira matriz define um produto interno sobre o
.