Se possível, encontre a matriz inversa de
A=(lll 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 0 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz , que é uma matriz 3x3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante, matriz de cofatores e transposta. Vamos dar um passo de cada vez para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 0 & 2 . O determinante é importante porque, se for diferente de zero, a matriz tem inversa. A matriz det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) é:
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Onde são os elementos da matriz .

Passo 3

Aplicando os valores da matriz det(A) = 1(1 cdot 2 - 4 cdot 0) - 2(2 cdot 2 - 4 cdot 1) + 3(2 cdot 0 - 1 cdot 1) :
= 1(2 - 0) - 2(4 - 4) + 3(0 - 1)
Calculando cada parte:
= 1 cdot 2 - 2 cdot 0 + 3 cdot (-1)
= 2 - 0 - 3 = -1
Então, o determinante de é .

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero ( ), sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores de .

Passo 5

A matriz dos cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de M11 = 1 & 4 0 & 2 = (1)(2) - (4)(0) = 2 . Para cada posição C11 = (+1) cdot 2 = 2 na matriz, calculamos o menor M12 = 2 & 4 1 & 2 = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = 0 , que é o determinante da matriz que restou ao remover a linha C12 = (-1) cdot 0 = 0 e a coluna M13 = 2 & 1 1 & 0 = (2)(0) - (1)(1) = 0 - 1 = -1 , e depois aplicamos o sinal C13 = (+1) cdot (-1) = -1 .
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator M21 = 2 & 3 0 & 2 = (2)(2) - (3)(0) = 4 :
    C21 = (-1) cdot 4 = -4
    M22 = 1 & 3 1 & 2 = (1)(2) - (3)(1) = 2 - 3 = -1
  • Cofator C22 = (+1) cdot (-1) = -1 :
    M23 = 1 & 2 1 & 0 = (1)(0) - (2)(1) = 0 - 2 = -2
    C23 = (-1) cdot (-2) = 2
  • Cofator M31 = 2 & 3 1 & 4 = (2)(4) - (3)(1) = 8 - 3 = 5 :
    C31 = (+1) cdot 5 = 5
    M32 = 1 & 3 2 & 4 = (1)(4) - (3)(2) = 4 - 6 = -2
  • Cofator C32 = (-1) cdot (-2) = 2 :
    M33 = 1 & 2 2 & 1 = (1)(1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3
    C33 = (+1) cdot (-3) = -3
  • Cofator Cof(A) = 2 & 0 & -1 -4 & -1 & 2 5 & 2 & -3 :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a adjunta da matriz Adj(A) = 2 & -4 & 5 0 & -1 & 2 -1 & 2 & -3 , que é a transposta da matriz dos cofatores. Para transpor, trocamos as linhas pelas colunas.
Transpondo :

Passo 7

Por fim, a matriz inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é dada por:
A^-1 = 1-1 cdot 2 & -4 & 5 0 & -1 & 2 -1 & 2 & -3 = -2 & 4 & -5 0 & 1 & -2 1 & -2 & 3
Já calculamos que , então:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = -2 & 4 & -5 0 & 1 & -2 1 & -2 & 3 é:

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