Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz , que é uma matriz 3x3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante, matriz de cofatores e transposta. Vamos dar um passo de cada vez para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 0 & 2 . O determinante é importante porque, se for diferente de zero, a matriz tem inversa. A matriz det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) é:
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Como o determinante é diferente de zero (), sabemos que a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores de .
Passo 5
A matriz dos cofatores é uma matriz onde cada elemento é o cofator correspondente de M11 = 1 & 4 0 & 2 = (1)(2) - (4)(0) = 2 . Para cada posição C11 = (+1) cdot 2 = 2 na matriz, calculamos o menor M12 = 2 & 4 1 & 2 = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = 0 , que é o determinante da matriz que restou ao remover a linha C12 = (-1) cdot 0 = 0 e a coluna M13 = 2 & 1 1 & 0 = (2)(0) - (1)(1) = 0 - 1 = -1 , e depois aplicamos o sinal C13 = (+1) cdot (-1) = -1 .
Agora, vamos calcular a adjunta da matriz Adj(A) = 2 & -4 & 5 0 & -1 & 2 -1 & 2 & -3 , que é a transposta da matriz dos cofatores. Para transpor, trocamos as linhas pelas colunas.
Transpondo :
Passo 7
Por fim, a matriz inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é dada por: