Mostre que os polinômios e formam uma base de . Exprima o polinômio como combinação linear dos elementos dessa base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que os polinômios , e formam uma base para , que é o espaço dos polinômios de grau até 2. Além disso, precisamos expressar o polinômio como uma combinação linear desses três polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, como verificar se os polinômios são linearmente independentes e como fazer combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que esses três polinômios formam uma base para . Para isso, precisamos verificar duas coisas: se eles são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Passo 3
Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta em:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Resolvendo esse sistema, temos:
De , substituindo em , obtemos .
Com e na terceira equação, .
Como a única solução é , os polinômios são linearmente independentes.
Passo 4
Agora que sabemos que são linearmente independentes e temos três polinômios em (que tem dimensão 3), eles formam uma base para .
Passo 5
Vamos expressar o polinômio 2x^2 - 5x + 6 = a cdot 1 + b cdot (x - 1) + c cdot (x^2 - 3x + 1) como uma combinação linear dos polinômios da base:
a + b x - b + c x^2 - 3c x + c = 2x^2 - 5x + 6
Expandindo o lado direito:
c x^2 + (b - 3c)x + (a - b + c) = 2x^2 - 5x + 6
Agrupando os termos:
c = 2 b - 3c = -5 a - b + c = 6
Igualando os coeficientes:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
De b - 3(2) = -5 implies b - 6 = -5 implies b = 1 , substituímos na segunda equação: a - 1 + 2 = 6 implies a + 1 = 6 implies a = 5
Agora, substituímos e na terceira equação:
Resposta
Portanto, o polinômio 2x^2 - 5x + 6 = 5 cdot 1 + 1 cdot (x - 1) + 2 cdot (x^2 - 3x + 1) pode ser expresso como: