O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(d) 1 e 2
(d) 1 e 2
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar o máximo e o mínimo da função
dentro da região delimitada pelo triângulo com vértices em
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, especificamente encontrando pontos críticos e avaliando a função nos vértices e ao longo das arestas do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a função
nesse ponto crítico:
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar a função nos vértices do triângulo:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Agora, vamos verificar as arestas do triângulo. Cada aresta pode ser parametrizada e substituída na função
:
- Aresta entre
e : Aqui, e varia de 0 a 1.
Encontramos o ponto mínimo dessa parábola no intervalo, que ocorre em
:
- Aresta entre
e : Aqui, e varia de 0 a 1.
O mínimo ocorre em
:
- Aresta entre
e : Podemos parametrizar essa aresta como , então , com variando de 0 a 1.
O mínimo ocorre em
:
Resposta
O mínimo da função é 2 e o máximo é 3 na região delimitada pelo triângulo.
Exercícios relacionados
( )Se
e
são sequências reais tais que
, então
ou
.
( )
e
.
Sobre
na região
© o máximo de é menor que 4.
© o máximo de
O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(a) 3 e
(a) 3 e