Sobre
na região
(d) o mínimo de
é menor que 1.
(d) o mínimo de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a função
definida na região
, que é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem
. O objetivo aqui é verificar se o mínimo dessa função dentro dessa região é menor que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar mínimos de funções de duas variáveis e analisar essa função específica dentro da região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico está dentro da região
. Para isso, substituímos
e
na inequação da região:
Como
, o ponto
está dentro da região
.
Passo 4
Vamos calcular o valor da função
nesse ponto crítico:
Então, o valor da função nesse ponto é 2.5.
Passo 5
Pra termos certeza de que esse é o mínimo, também precisamos verificar os valores da função na fronteira da região
, ou seja, onde
. Porém, como a função
é uma função quadrática que sempre abre para cima (já que os coeficientes de
e
são positivos), o valor mínimo ocorre no ponto crítico que já calculamos.
Passo 6
Portanto, o mínimo da função
na região
é 2.5, que é maior que 1.
Resposta
O mínimo de
na região
é 2.5, que é maior que 1. Portanto, a afirmação (d) é falsa.
Exercícios relacionados
O máximo e o mínimo de
na região delimitada pelo triângulo de vertíces
e
são respectivamente:
(e) Nenhuma das alternativas acima.
(e) Nenhuma das alternativas acima.
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) O ponto está na fronteira de
.
(a) O ponto
( )
e
.