Sobre na região
(d) o mínimo de é menor que 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a função definida na região , que é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem . O objetivo aqui é verificar se o mínimo dessa função dentro dessa região é menor que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar mínimos de funções de duas variáveis e analisar essa função específica dentro da região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico está dentro da região . Para isso, substituímos e na inequação da região:
Como , o ponto está dentro da região .

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então, o valor da função nesse ponto é 2.5.

Passo 5

Pra termos certeza de que esse é o mínimo, também precisamos verificar os valores da função na fronteira da região , ou seja, onde . Porém, como a função é uma função quadrática que sempre abre para cima (já que os coeficientes de e são positivos), o valor mínimo ocorre no ponto crítico que já calculamos.

Passo 6

Portanto, o mínimo da função na região é 2.5, que é maior que 1.

Resposta

O mínimo de na região é 2.5, que é maior que 1. Portanto, a afirmação (d) é falsa.

Exercícios relacionados

O máximo e o mínimo de na região delimitada pelo triângulo de vertíces e são respectivamente:
(e) Nenhuma das alternativas acima.
Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) O ponto está na fronteira de .
( ) e .