( )Se (x_n)_n e y_n n são sequências reais tais que x_n + y_n -> +infinito, então x_n -> +infinito ou y_n -> +infinito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas sequências de números reais, chamadas de (x_n)_n e y_n n. A condição dada é que a soma dessas duas sequências, ou seja, , está indo para mais infinito conforme n cresce. A pergunta é: isso significa que pelo menos uma das sequências, ou xn ou y_n, também está indo para mais infinito? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência tender ao infinito e como isso se comporta quando somamos duas sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que uma sequência . Isso quer dizer que, conforme n aumenta, os valores de xn ficam cada vez maiores sem limite. Ou seja, para qualquer número grande que você escolher, existe um ponto na sequência além do qual todos os termos são maiores que esse número.

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma das duas sequências: . Isso nos diz que, conforme n cresce, a soma dos termos correspondentes de xn e y_n está indo para mais infinito. Queremos saber se isso implica que pelo menos um dos termos individuais, xn ou y_n, também está indo para mais infinito.

Passo 4

Vamos supor, para ver se a afirmação é verdadeira, que nem xn nem y_n estão indo para mais infinito. Isso significa que existe um limite para ambos, ou pelo menos um deles não está aumentando sem limite. Se ambos os termos não estão indo para mais infinito, é difícil imaginar que a soma deles esteja, pois você estaria combinando duas sequências que não crescem indefinidamente para obter uma sequência que cresce indefinidamente.

Passo 5

Então, para que a soma vá para mais infinito, pelo menos um dos termos, ou xn ou y_n, deve estar aumentando sem limite. Se apenas um deles cresce para mais infinito, a soma inevitavelmente também cresce para mais infinito, independentemente do comportamento do outro termo.

Resposta

Verdadeiro.

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