Máximos e Mínimos: (l) Para a função
, encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função
e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada, que nos ajudam a identificar a natureza dos pontos críticos em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo
na equação (2):
Então,
. Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante
:
Passo 7
Interpretamos o valor de
:
- Se
e , o ponto é um mínimo. - Se
e , o ponto é um máximo. - Se
, o ponto é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
, então o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico é
e é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Utilize o método de multiplicadores de Lagrange para calcular os pontos de máximos e mínimos: (e) Dada a função
e a restrição
, determine os valores de
que maximizam e minimizam a função usando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Máximos e Mínimos: (q) Considere a função
. Encontre os pontos críticos e determine se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Máximos e Mínimos: § Dada a função
, encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
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com a restrição
, encontre os máximos e mínimos usando o método dos multiplicadores de Lagrange.