Máximos e Mínimos: (l) Para a função , encontre os pontos críticos e determine se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função e determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e o teste da segunda derivada, que nos ajudam a identificar a natureza dos pontos críticos em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então, . Portanto, o único ponto crítico é .

Passo 6

Agora, precisamos determinar a natureza desse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Calculamos o discriminante :

Passo 7

Interpretamos o valor de :
  • Se e , o ponto é um mínimo.
  • Se e , o ponto é um máximo.
  • Se , o ponto é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, , então o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico é e é um ponto de sela.

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