Mediante a substituição direta prove que Y ( x , t )=AE S Sen(k x) Sen(omega t) é uma solução da equação da onda, sendo v=omega / k, dada por:
partial^2 y(x, t)partial x^2=1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos mostrar que a função partial^2 y(x, t)partial x^2 = 1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2 é uma solução da equação da onda, que é dada por:
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas de segunda ordem de em relação a e , e depois substituir na equação da onda para verificar se a igualdade é satisfeita. Precisamos entender conceitos de derivadas parciais e a forma da equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de Y(x, t) = AES sin(kx) sin(omega t) em relação a partial Ypartial x = AES k cos(kx) sin(omega t) . A função partial^2 Ypartial x^2 = -AES k^2 sin(kx) sin(omega t) é:
Derivando uma vez em relação a :
Derivando novamente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de Y(x, t) = AES sin(kx) sin(omega t) em relação a partial Ypartial t = AES omega sin(kx) cos(omega t) . Novamente, começamos com:
partial^2 Ypartial t^2 = -AES omega^2 sin(kx) sin(omega t)
Derivando uma vez em relação a :
Derivando novamente em relação a :

Passo 4

Agora que temos as duas segundas derivadas, vamos substituir na equação da onda:
partial^2 Ypartial x^2 = -AES k^2 sin(kx) sin(omega t)
E:
1v^2 partial^2 Ypartial t^2 = 1v^2 ( -AES omega^2 sin(kx) sin(omega t) ) = -AES omega^2v^2 sin(kx) sin(omega t)

Passo 5

Para que -AES k^2 sin(kx) sin(omega t) = -AES omega^2v^2 sin(kx) sin(omega t) seja uma solução da equação da onda, as duas expressões devem ser iguais:
k^2 = omega^2v^2
Podemos cancelar os termos comuns:
k^2 = omega^2( omegak )^2 = omega^2omega^2k^2 = k^2
Sabemos que , então substituindo:
A igualdade é verdadeira.

Resposta

Portanto, é de fato uma solução da equação da onda dada.

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