Mediante a substituição direta prove que
é uma solução da equação da onda, sendo
, dada por:
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos mostrar que a função
é uma solução da equação da onda, que é dada por:
Para resolver isso, vamos calcular as derivadas de segunda ordem de
em relação a
e
, e depois substituir na equação da onda para verificar se a igualdade é satisfeita. Precisamos entender conceitos de derivadas parciais e a forma da equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. A função
é:
Derivando uma vez em relação a
:
Derivando novamente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Novamente, começamos com:
Derivando uma vez em relação a
:
Derivando novamente em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as duas segundas derivadas, vamos substituir na equação da onda:
E:
Passo 5
Para que
seja uma solução da equação da onda, as duas expressões devem ser iguais:
Podemos cancelar os termos comuns:
Sabemos que
, então substituindo:
A igualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto,
é de fato uma solução da equação da onda dada.